Für welche a hat die Funktion Extremstellen? f_(a)(x) = x^3 - 3ax ; a ∈ ℝ

Question

Gegeben ist die Schar f(x) = x^3 - 3ax ; a ∈ ℝ

Jetzt soll ich herausfinden für welche a die Funktion Extremstellen besitzt und ob es ein a gibt, für das die Funktion genau eine Extremstelle besitzt.

Ich habe leider keine Ahnung wie ich das berechnen soll, kann mir das jemand erklären?

Answer 1

Extremstellen durch f ' (x) = 0 bestimmen

Hier  3x² - 3a = 0

x² - a = 0

für a=0  genau eine Lösung, also eine Extremstelle

und für a<0 keine.

für a>0 zwei. 

Comments

> Mögliche  Extremstellen durch f ' (x) = 0 bestimmen  

Man sollte wohl doch erwähnen, dass  das  nur die notwendige Bedingung ist und es noch einer Begründung für "hinreichend" bedarf. 

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für a=0  genau eine Lösung, also eine Extremstelle

Das ist nicht richtig.

Außerdem ist es deutlich eleganter, so zu argumentieren: Eine ganzrationale Funktion dritten Grades hat genau dann (und zwar genau zwei!) Extremstellen, wenn der Leitkoeffizient (hier: +1) und die Steigung der Wendetangente (hier: -3a) verschiedene Vorzeichen haben. Das ist hier offenbar genau für a>0 der Fall.

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Ja Wann gibt es denn nun genau eine Extremstelle und wie kann ich das generell berechnen, also wenn ich eine andere Funktionenschar habe, wie muss ich dann vorgehen? Außerdem, wie kann ich das mit 2 Extrema "anders" begründen? Von Leitkoeffizient und Wendetangente habe ich noch nie gehört.

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Wann gibt es denn nun genau eine Extremstelle (...)

Eine ganzrationale Funktion dritten Grades hat niemals "genau eine Extremstelle", sie hat entweder zwei oder keine.

(...) und wie kann ich das generell berechnen, also wenn ich eine andere Funktionenschar habe, wie muss ich dann vorgehen?

Das hängt sehr von den jeweiligen Umständen ab und lässt sich in dieser Allgemeinheit nur schwer umfassend beantworten.

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Man kann gut über die vielfachheit der Nullstellen gehen

x^2 = a

Sei a positiv gibt es zwei einfache Nullstellen. Das sind Nullstellen mit Vorzeichenwechsen und damit echte hoch und Tiefpunkte.

x^2 = a

Sei a Null ist x = 0 eine doppelte Mullstelle. Eine doppelte Nullstelle hat kein Vorzeichenwechsel.ö Damit ist es ein Sattelpunkt und kein extrempunkt.

x^2 = a

Sei a nun negativ gibt es hier keine Lösung und damit auch keine Extremstellen.

Ich persönlich finde es sehr einfach über die Vielfachheit der Nullstellen zu gehen. Zumindest bei Polynomen ist damit eigentlich immer die hinreichende Bedingung überflüssig. Die kann man heranziehen wenn man nicht schauen möchte wie genau der Vorzeichenwechsel stattfindet.

Answer 2

Hallo GameKnight,

die notwendige Bedingung für eine Extremstelle ist f'(x) = 0

also

3x^2 - 3a = 0

 x^2  - a   = 0

x^2          = a

x              = ± √a

Du hast also auf jeden Fall zwei Extrema, denn

f''(√a) = 6*√a ≠ 0. Für f'(-√a) gilt das Gleiche.

Eine Extremstelle gäbe es nur, wenn a = 0, dann wäre aber auch f''(a) = 0, und somit die hinreichende Bedingung nicht erfüllt.

Gruß

Silvia