Analysis Funktionenschar: fa(x):= 1/3 (x+a)(x-a)x. Mit Term f_{a}(x) begründen, welche Eigenschaften die Graphen haben

Question

Aufgabe Analysis:

Gegeben sei die Funktionenschar \( f_{a}(x)=\frac{1}{3}(x+a) \cdot(x-a) \cdot x=\frac{1}{3} \cdot x^{3}-\frac{a^{2}}{3} \cdot x \).

a) Begründen Sie mit Hilfe des Terms \( f_{a}(x) \), welche Eigenschaften die Graphen der Schar haben. Eine Kurvendiskussion mit Hilfe der Ableitungen wird an dieser Stelle nicht erwartet.

Skizzieren Sie die Graphen für \( \mathrm{a}=1, \mathrm{a}=2 \) und \( \mathrm{a}=3 \) in das auf Folie beigefügte Koordinatensystem.

b) Was ergibt sich für die Graphen, wenn Sie in Teilaufgabe a) die Konstanten 1,2 und 3 durch \( -1,-2 \), und \( -3 \) ersetzen? Begründen Sie dies aus dem Aufbau des Terms.

c) Die Ortslinie der Extrema ist \( \mathrm{y}=-\frac{2}{3} \mathrm{x}^{3} \). Prüfen Sie diese Behauptung mit dem GTR, zeichnen Sie den Graphen in Ihre Skizze aus Teilaufgabe a) und geben Sie einen Weg an, auf dem Sie die Ortslinie ohne Verwendung der Graphik-Funktionen Ihres Taschenrechners bestimmen könnten (keine Rechnung durchführen!)

Ich frage mich, wie ich ohne Ableitung eine Kurvendiskussion zu dem Thema machen soll.

Answer 1

zu a) Einige beispielhafte Eigenschaften ...

- Die Funktionsschar hat mindestens eine Nullstelle bei x = 0.

- Die Funktionsschar hat keine Definitionslücken. Somit ist sie stetig.

- Für x -> oo geht die Funktionsschar gegen oo

- Für x -> - oo geht die Funktionsschar gegen -oo

- Jede Funktion, die sich durch ein Polynom darstellen lässt, ist differenzierbar. Somit besitzt die Funktionsschar mindestens 1 Extremum.

Das Zeichnen der einzelnen Funktionen überlasse ich dir.

zu b) Da ändert sich gar nichts, weil der Parameter a zum Quadrat  vorliegt.

zu c) GTR? sagt mir nichts.

In der Regel ist die Ortslinie oder besser gesagt in diesem Fall die Ortskurve so definiert, dass diese alle Extrema abbildet, d. h. auf dieser Kurve liegen alle Extrema, die die Kurvenschar hergeben kann.