a) Die Wurzel aus einer reellen Zahl ist definiert, wenn diese \(\ge 0\) ist. Also muss
$$x^2-x-2 \ge 0$$ sein. Mit der quadratischen Ergänzung erhält man:
$$x^2 - x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} - 2 = (x - \frac{1}{2})^2 - \frac{9}{4} \ge 0$$ $$|x - \frac{1}{2}| \ge \frac{3}{2}$$ um dies vollständig zu lösen, muss man die beiden Fälle
$$x-\frac{1}{2} \ge 0 \space \Rightarrow x \ge \frac{1}{2} \quad \text{und} \quad x - \frac{1}{2} < 0 \space \Rightarrow x < \frac{1}{2}$$unterscheiden. Im ersten Fall erhält man
$$x-\frac{1}{2} \ge \frac{3}{2} \space \Rightarrow x \ge 2$$ und im zweiten Fall $$-x + \frac{1}{2} \ge \frac{3}{2} \space \Rightarrow x \le -1$$ Zeichne die Funktion \(g(x)=x^2-x-2\) und Du siehst, dass diese außerhalb der Grenzen -1 und 2 positive Werte annimmt.
~plot~ x^2-x-2 ~plot~
Der Definitionsbereich ist hier \(D=\{ x \in \mathbb{R} | x \le -1 \cup 2 \le x \} \)
b) Der Logarithmus ist im reellen nur für Werte >0 definiert. Demnach muss sein:
$$\frac{x}{x+1} > 0$$Naturgemäß würde man mit auf beiden Seiten mit \(x+1\) multiplizieren. Dabei muss jedoch das Vorzeichen beachtet werden. Im ersten Fall ist \(x+1 \ge 0\) bzw. \(x \ge -1\) - dann gilt:
$$x > 0$$Im zweiten Fall ist \(x+1<0\) bzw. \(x<-1\) - dann gilt$$ x < 0 $$Zusammen mit der Eingangsbedingung \(x<-1\) bleibt nur dies - also$$x < -1$$Ein Plot zeigt die Werte, bei denen die Funktion \(g(x) =\frac{x}{x+1}\) größer 0 ist
~plot~ x/(x+1) ~plot~
Der Definitionsbereich ist hier \(D= \{ x \in \mathbb{R} | x < -1 \cup 0 < x\}\)
Gruß Werner
