Grenzwert mit mittelwertsatz der Integralrechnung

Question

Hey:)

Könnt ihr mir bei der Aufgabe helfen??

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Wäre doch einfach:

(cos(2x^4)- cos(x^4))/ (x^4) und das würde ja für x gegen 0. null durch null heißen, also l'Hospital

(2x^3* cos(2x^4)-4x^3* cos(x^4))/4x^3

Ist wieder null durch null also ableiten...

Passt das so?

Answer 1

Der Mittelwertsatz sagt $$\int_a^bf(x)\,dx=(b-a)f(\xi)$$ mit einem \(\xi\in[a,b]\), falls \(f\) stetig ist. Im Beispiel also $$\int_{x^4}^{2x^4}\cos^2y\,dy=x^4\cos^2\eta$$ mit einem \(\eta\), für das \(x^4\le\eta\le2x^4\) gilt. Kannst Du das damit zu Ende bringen?

Comments

ich versteh, was du gemacht hast. Nur weiß ich leider nicht wie es weitergehen würde

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Du setzt \(x^4\cos\eta^2\) für das Integral ein, was denn sonst? $$\lim_{x\to0}\frac{1}{x^4}\int_{x^4}^{2x^4}\cos y^2\,dy=\lim_{x\to0}\cos\eta^2$$

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Und das ergibt 0

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Nie im Leben.

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Ich hab doch x^4 *cos n und für x gegen 0 hab ich 0*cos n also 0

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1 oder?

Sorry, hab übersehen, dass x^4 verschwindet

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Wie zeige ich, dass der Grenzwert gehen 1 geht?

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Sitze gerade vor der selben Aufgabe :D (HM2 bei PD Dr. W.-P. D.).

Die Aufgabe wird, wie hier von Fakename bereits richtig vorgeführt, mit dem Mittelwertsatz der Integralrechnung gelöst (bei uns im Skript Satz 18.11 für den Fall, dass g ≡ 1).

Wie wir wissen gilt ξ ∈ [x⁴, 2x⁴], anders formuliert: x⁴ ≤ ξ ≤ 2x⁴. Da wir nun den Grenzwert für x gegen 0 suchen, muss für ξ gelten, dass 0 ≤ ξ ≤ 0 ist, was gleichbedeutend ist mit ξ = 0. Also erhält man insgesamt cos(0) = 1 als Ergebnis.