Fassen Sie zusammen und vereinfachen Sie so weit wie möglich

Question

ich bekam folgende Aufgabe und soll diese vereinfachen

((a³ ) ÷ (2b⁴ ))^{(1 ÷ 3)}  ÷ ((4b⁸) ÷ (a² ))^{(1 ÷ 3)}

und in diese Form bringen

k × a^x × b^y

nun habe ich allerdings ein Problem mit dem k und frage mich ob

ich soweit alles richtig berechnet habe:

(4b⁸) ÷ (a² ) mit dem Kehrwert multiplizieren :

((a³ )  ÷(2b⁴ ))^{(1 ÷ 3)}  × ((a² ) ÷ (4b⁸))^{(1 ÷ 3)}

Die Potenz zusammenfassen und die Brüche multiplizieren:
((a³ × a² ) ÷ (2b⁴  × 4b⁸))^{(1 ÷ 3)}

 Die Variablen zusammenfassen :

(a³ × a² ) =( a⁵ )
(2b⁴ × 4b⁸) = (2b⁴ × 2b⁴ × 2b⁴ ) = (8b¹² )

(( a⁵ ) ÷ (8b¹² ))^{(1 ÷ 3)}
Dann die ^{(1  ÷3)}   auflösen :
(( a⁵ ) ÷ (8b¹² )) = (( a^(5÷3) ) ÷ (8b^(12÷3) ))

(( a^(5÷3) ) ÷ (8b⁴ ))

und nun bin ich ein wenig Ratlos, um genau zu sein weiß nicht wie den Bruch in o.a. Form bringe geschweige denn wo ich besagtes k herbekomme.
Ich hoffe mein Eintrag ist nicht zu unübersichtlich und freue mich über jegliche Art von Hilfe.
MfG Pascal

Answer 1

$$\frac{(\frac{a^3}{2b^4})^{\frac{1}{3}}}{(\frac{4b^8}{a^2})^{\frac{1}{3}}}\\ [\text{allg.}\quad\frac{a^m}{b^m}=(\frac{a}{b})^m]\\ \Bigl(\frac{\frac{a^3}{2b^4}}{\frac{4b^8}{a^2}}\Bigr)^\frac{1}{3}\\ =\bigl(\frac{a^3}{2b^4}\cdot \frac{a^2}{4b^8}\bigr)^\frac{1}{3}\\ =(\frac{a^5}{8b^{12}})^\frac{1}{3}\\ =\frac{(a^5)^\frac{1}{3}}{(8b^{12})^\frac{1}{3}}\\ =\frac{a^\frac{5}{3}}{8^\frac{1}{3}b^\frac{12}{3}}\\ =\frac{a^\frac{5}{3}}{2b^4}\\ =\frac{1}{2}\cdot a^\frac{5}{3}\cdot b^{-4}\\ =K\cdot a^x\cdot b^y$$