Reihen auf Konvergenzkriterien untersuchen

Question

Hallo liebe Community ,

könnt mir mir bei folgenden Aufgaben helfen?

Untersuche folgende Reihen auf Konvergenz:

$$ \sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { { 3 }^{ n } }{ (n+3)! }  } $$ und $$  \sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { { (-1) }^{ n } }{ \sqrt { n+2 }  }  } $$

Bei ersteren weiß ich das ich mit dem Quotientenkriterium rechnen soll

$$ \sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { { (-1) }^{ n } }{ \sqrt { n+2 }  }  } =\quad \frac { { 3 }^{ n+1 } }{ (n+4)! } \times \frac { (n+3)! }{ { 3 }^{ n } } =\quad \frac { { 1 }^{ n }(n+3) }{ n+4 } $$ => Ich weiß nicht wie ich weiter vereinfachen soll, wenn ich nämlich den limes berechne kommt nur Käse dabei raus

Beim letzteren habe ich absolut keine Ahnung.

PS: Kann mir jemand erklären warum bei dieser Funktion beim Grenzwert einmal -∞ und einmal ∞ rauskommt, ich habe es nicht ganz verstanden.

$$ f(x)=\frac { { x }^{ 2 }+x+1 }{ x-1 } \quad =>\quad \underset { x\rightarrow 1,x<1 }{ lim } f(x)=-\infty \quad bzw.\quad \underset { x\rightarrow 1,x>1 }{ lim } f(x)=\infty \quad $$

MFG Jack

Comments

:-)

1) a_(n+1)/a_(n) = 3^{n+1}/(n+4)! * (n+3)!/3^n = 3^{n+1}/3^n * (n+3)!/(n+4)! `= 3 * 1/(n+4) = 3/(n+4) = |a_(n+1)/a_(n)|

lim_n->oo  |a_(n+1)/a_(n)| = lim_n->oo 3/(n+4) = lim_n->oo (3/n)/(1+4/n) = 0 < 1. Mit dem Quotientenkriterium konvergiert die Reihe.

2) Die zweite Reihe kannst Du mit dem Leibniz-Kriterium auf Konvergenz prüfen.

3)
a) Minus Unendlich deshalb, weil der Nenner immer negativ bleibt, da das x immer kleiner als 1 ist und damit x-1 immer kleiner 0 ist.

b) Unendlich deshalb, weil der Nenner immer größer als Null ist.

Gruß

Answer 1

 Ich weiß nicht wie ich weiter vereinfachen soll, wenn ich nämlich den limes berechne kommt nur Käse dabei raus

das liegt daran, dass du vorher falsch "vereinfacht" hast 

Es ist

$$ \quad \frac { { 3 }^{ n+1 } }{ (n+4)! } \frac { (n+3)! }{ { 3 }^{ n } }\\=\frac { 3 }{ n+4 } \to 0 <1 $$

Die Reihe konvergiert also.

Bei der 2ten Reihe nimmst du das Leibnitzkriterium. Danach konvergiert die Reihe, weil 1/√(n+2) eine monotone Nullfolge ist.

Comments

Sorry aber ich verstehe nicht wie du auf den letzten Schritt beim Quotientenkriterium gekommen bist.

Beim Leibnizkriterium könntest du mir vielleicht auch witerhelfen...

 $$ \underset { n\rightarrow \infty  }{ lim } \frac { 1 }{ \sqrt { n+2 }  } \overset { n\rightarrow \infty  }{ \longrightarrow  } \frac { 1 }{ \sqrt { \infty  }  } =0 $$

=> Dann muss ich nur noch zeigen dass an ≥an+1 ist und hier komme ich nicht weiter

$$ \qquad an\quad \ge \quad an+1\\ \Leftrightarrow \quad \frac { 1 }{ \sqrt { n+2 }  } \ge  \frac { 1 }{ \sqrt { n+3 }  } \\ \Leftrightarrow  \sqrt { n+3 } \quad \ge \quad \sqrt { n+2 } \\ \Leftrightarrow \quad n+3\quad \quad \ge \quad n+2 $$

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Was für einen Schritt meinst du genau? Der Grenzwertprozess ist denke ich klar (3/(n+4) strebt gegen 0 für n gegen unendlich) .Vorher habe ich mithilfe von Potenzregeln und der Definition

der Fakultät gekürzt: es ist (n+4)!=(n+4)*(n+3)!   und 3^{n+1}=3^n*3

Das die Wurzelfunktion monoton ist kann man so zeigen:

$$ \text{Sei b > a; a,b element |N}:\\ 0 < b-a=(\sqrt { b }+\sqrt { a })(\sqrt { b }-\sqrt { a })\\\text{Division durch } (\sqrt { b }+\sqrt { a })>0 \text{ liefert: }\\0<\sqrt { b }-\sqrt { a }\\\sqrt { a }<\sqrt { b } $$

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Ich habe nicht ganz verstanden wie du auf $$\frac { 3 }{ n+4 } $$ gekommen bist.

Konkret weiß ich nicht wie du vom diesen Schritt weiter "vereinfacht" hast:

$$ \frac { { 3 } }{ n+4 } \frac { n+3 }{ 1 } $$

Kurze Frage als du bei der Wurzelfunktion dividiert hast würde doch da stehen:

$$ 0<\sqrt { b } -\sqrt { a } =(\sqrt { b } - \sqrt { a } )$$ oder?