Aufgabe:
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Aufgabe 13 (Konvergenzkriterien für Reihen; \( 2+2+2+2 \) Punkte). Entscheiden Sie, ob die folgenden Reihen konvergieren oder nicht.
a) \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{k(k+1)}} \),
b) \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{5^{k / 2}}{k^{k}} \),
c) \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{k\left(2^{k}+1\right)}{3^{k}} \),
d) \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{k(k-1)}{\left(k^{2}+1\right)^{2}} \).
Dies ist meine Aufgabe
Problem/Ansatz:
Bei a) habe ich raus, das die Reihe divergiert
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a) NB: \( (a)_{k \in \mathbb{N}} \) ist eine Nullfolge
\( a_{k}=\frac{1}{\sqrt{k(k+1)}}=\frac{1}{\sqrt{k^{2}+h}} \underset{k \rightarrow \infty}{\longrightarrow} 0 \)
HB
\( \left|\frac{\sqrt{m(h+x)} \mid}{\sqrt{(m+x)(m+4)}}\right|=\frac{\sqrt{m} \cdot \sqrt{(h+1)}}{\sqrt{m+1} \sqrt{4-2}}=\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{m+2}} \underset{k \rightarrow \infty}{\longrightarrow} 1 \)
Da es for \( \frac{\sqrt{k}}{\sqrt{n+2}} \) hein 9 gibt, dass
\( \frac{\sqrt{h}}{\sqrt{h+1}} \leq q<1 \) ist, diver gieet die Reihe.
bei b), habe ich raus, dass die Reihe konvergiert
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b) NK: \( \left(a_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}} \) ist eine Nollfolge
\( a_{k}=\frac{5^{\frac{k}{2}}}{k^{k}}=\left(\frac{5_{k}}{k}\right)^{\frac{1}{2}}=\underbrace{\left(\frac{\sqrt{5}}{h}\right)^{k}}_{k \rightarrow \infty} \underset{k \rightarrow \infty}{\longrightarrow} 0 \)
HB: Wurzelhriterium
\( \sum \limits_{k=1}^{\infty} a_{k} \) ist konvergent wenn gilt \( \sqrt[k]{\left|a_{k}\right|} \leqslant q<1 \)
\( \sqrt[k]{\left(\frac{5^{\frac{2}{2}}}{k^{4}}\right)}=\sqrt[k]{\left(\frac{\sqrt{3}}{k}\right)^{4}}=\frac{\sqrt{5}}{k} \rightarrow a b \quad k=3 \leq \frac{\sqrt{5}}{3}<1 \)
\( \rightarrow \sum \limits_{k=1}^{\infty} a_{k} \) ist konvergent
bei c und d habe ich leider keinen Ansatz, könnte mir da jemand eine Hilfestellung geben. Außerdem wollte ich fragen, ob man die a und b so beweisen kann, wie ich das jetzt hier gemacht habe.
Vielen Dank schonmal im Voraus
