Reihen und Konvergenzkriterien

Question

Aufgabe:

Kann mir Jemand Helfen die Aufgabe zu lösen? \( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{} \) \( \frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{k^{3/4}} \)

Problem/Ansatz:

Leider habe ich keinen Ansatz :(

Answer 1

Erweitern mit \(\sqrt{k+1}+\sqrt k\)  liefert$$\left\lvert\frac{\sqrt{k+1}-\sqrt k}{k^{\frac34}}\right\rvert=\frac1{k^{\frac34}\cdot(\sqrt{k+1}+\sqrt k)}<\frac1{k^{\frac34}\cdot k^{\frac12}}=\frac1{k^{\frac54}}.$$Bekantlich konvergiert die Reihe \(\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac1{k^{\frac54}}\)  und damit nach dem Majorantenkriterium auch die ursprüngliche Reihe.