Integralrechnung wasserspeicher und Drachenflieger

Question

Bitte helft mir ich verstehe das nicht.

Gegeben ist für \( x \geq 0 \) die Funktion \( f(x)=x \cdot(x-1) \cdot(x-3) \)a)

(1): Wie viel Wasser muss zu Beginn bei \( x=0 \) im Wasserspeicher mindestens sein?

(2): Wie groß ist der Höhenunterschied zwischen Start und Landung?b) Die Grafik zeigt neben \( f \) noch \( I_{0}(x)=\int \limits_{0}^{x} f(t) d t \).

(3) Diese Integralfunktion hat noch zwei weitere Nullstellen in [1; 2] bzw. [3; 4]. Welche Bedeutung haben diese Nullstellen in den Sachzusammenhängen (1) und (2)? Berechnen Sie die Nullstellen.

(4) Geben Sie eine Integralfunktion zu (1) so an, dass bei \( x=3 \) noch 2 Liter im Speicher sind.

(5) Wann sinkt der Drachenflieger am schnellsten?

(6) Geben Sie eine Stammfunktion von f an, die keine Integralfunktion zu f sein kann.

Comments

Zum Integrieren die Klammern auflösen

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Haben Wasserspeicher und Drachenflieger irgendwas mit f(x) zu tun ?

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Ja genau. Ich weiß nicht wie ich jetzt das berechnen soll

Answer 1

1): Wie viel Wasser muss zu Beginn bei x=0 im Wasserspeicher mindestens sein?

f(x) = x·(x - 1)·(x - 3)

∫ (0 bis 3) (x·(x - 1)·(x - 3)) dx = - 2.25 VE

2): Wie groß ist der Höhenunterschied zwischen Start und Landung?

∫ (0 bis 3) (x·(x - 1)·(x - 3)) dx = - 2.25 LE

3) Diese Integralfunktion hat noch zwei weitere Nullstellen in [1; 2] bzw. [3; 4]. Welche Bedeutung haben diese Nullstellen in den Sachzusammenhängen (1) und (2)? Berechnen Sie die Nullstellen.

An den Nullstellen bei 1) ist genau so viel Wasser wie am Beginn im Wasserspeicher.

An den Nullstellen bei 2) besteht kein Höhenunterschied im Vergleich zum Start.

I0(x) = 1/4·x^4 - 4/3·x^3 + 3/2·x^2 = 1/12·x^2·(3·x^2 - 16·x + 18) = 0

3·x^2 - 16·x + 18 = 0 --> x = 8/3 - √10/3 = 1.613 ∨ x = √10/3 + 8/3 = 3.721

4) Geben Sie eine Integralfunktion zu (1) so an, dass bei x=3 noch 2 Liter im Speicher sind.

I0(3) = - 9/4 = -2.25

F(x) = I0(x) + 2.25 + 2 = 1/4·x^4 - 4/3·x^3 + 3/2·x^2 + 4.25

5) Wann sinkt der Drachenflieger am schnellsten?

f(x) = x·(x - 1)·(x - 3) = x^3 - 4·x^2 + 3·x

f'(x) = 3·x^2 - 8·x + 3 = 0 --> x = 4/3 ± √7/3

Bei x = √7/3 + 4/3 = 2.215 sinkt der Drachenflieger am schnellsten

6) Geben Sie eine Stammfunktion von f an, die keine Integralfunktion zu f sein kann.

F(x) = I0(x) + 2.25 + 3 = 1/4·x^4 - 4/3·x^3 + 3/2·x^2 + 5.25

Comments

An den Nullstellen bei 2) besteht kein Höhenunterschied im Vergleich zum Start.

Kann ja wohl nicht sein.

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An den Nullstellen bei 2) besteht kein Höhenunterschied im Vergleich zum Start. Kann ja wohl nicht sein.

..., wenn wir die Höhe über Normal Null messen und nicht über Grund. Die Höhe über Grund kennt man hier überhaupt nicht.

Oder wie könnte man es noch besser formulieren?

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Nach deinen Integralgrenzen oben zu urteilen ist er bei t=3 bereits gelandet, spätere Zeitpunkte können dann im Sachzusammenhang gar keine Rolle mehr spielen.

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Nach deinen Integralgrenzen oben zu urteilen ist er bei t=3 bereits gelandet, spätere Zeitpunkte können dann im Sachzusammenhang gar keine Rolle mehr spielen.

Das war vielleicht nur eine angesetzte Landung mit einem Durchstarten ;) Soll ja vorkommen.

Oder der Lehrer wollte hier tatsächlich darauf hinaus, dass diese Nullstellen für (2) keine Bedeutung hat.

Aber das kann ja eigentlich nicht sein, dann die Landung bei x = 3 habe ich mir ja eigentlich ausgedacht. Die geht ja nicht direkt aus dem Aufgabentext hervor.

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Kurze Frage wie hast du das bei Augabe 6 gemacht. Ich dachte 1/4·x4 - 4/3·x3 + 3/2·x2 + 5.25 ist auch eine Stammfunktion von der Integralfunktion

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Verwechsel nicht Integralfunktion mit Integrandenfunktion.

y = 1/4·x^4 - 4/3·x^3 + 3/2·x^2 + 5.25 ist eine Stammfunktion aber keine Integralfunktion.

Schau mal nach wie eine Integralfunktion definiert ist und schau dir dann den Graphen der Funktion

y = 1/4·x^4 - 4/3·x^3 + 3/2·x^2 + 5.25

an und frage dich warum es keine Integralfunktion ist.

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Also könnte ich auch 1/4·x4 - 4/3·x3 + 3/2·x2 + 4 nehmen?

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Also könnte ich auch 1/4·x4 - 4/3·x3 + 3/2·x2 + 4 nehmen?

Ja die könnte man auch nehmen. Welche Werte muß C im folgenden haben, damit die Funktion keine Integralfunktion ist?

y = 1/4·x^4 - 4/3·x^3 + 3/2·x^2 + C

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C darf jeden Wert annehmen außer 0?

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C darf jeden Wert annehmen außer 0?

Das ist verkehrt. Schade. Ich dachte schon du hättest es verstanden gehabt.

Schau nochmals die Definition der Integralfunktion nach. die hat gegenüber der Stammfunktion eine wichtige Bedingung mehr.

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Ich glaub habe das verwechselst. Das alles verwirrt mich irgendwie

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Die Integralfunktion muss im Gegensatz zur Stammfunktion eine Nullstelle haben.

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Danke für die Erklärung.