Bestimmen Sie alle Elemente, die 1 auf 1 abbilden.

Question

Aufgabe:

Sei \( G=S_{4} \) die symmetrische Gruppe von Grad 4, also die Permutationsgruppe von \( \{1,2,3,4\} \).

(a) Bestimmen Sie alle Elemente, die 1 auf 1 abbilden.
(b) Zeigen Sie, dass diese Elemente eine Untergruppe bilden.
(c) Begründen Sie kurz, warum diese Untergruppe gleich viele Elemente wie \( S_{3} \) hat.

Problem/Ansatz:

Answer 1

a)  U={\( \begin{pmatrix} 1&2&3&4\\ 1&2&3&4\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1&2&3&4\\ 1&2&4&3\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1&2&3&4\\ 1&3&4&2\end{pmatrix},\)

\(\begin{pmatrix} 1&2&3&4\\ 1&3&2&4\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1&2&3&4\\ 1&4&3&2\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1&2&3&4\\ 1&4&2&3\end{pmatrix}  \)}

b) Zeige: Zu jedem Element von U ist das Inverse auch in U und U ist abgesclossen und enthält

das neutrale El.

c) Es werden ja nur 2,3,4 permutiert.

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vielen dank!