Was sind die Elemente von Z6*?

Question

Aufgabe:

Was sind die Elemente von Z6*? Ich soll eine Multiplikationstabelle machen.

Answer 1

Die Elemente von \((Z/6Z)^*\) werden von den Klassen der nat. Zahlen

gebildet, die teilerfremd zu 6 sind, also

mit kleinsten nichtnegativen Repräsentanten

geschrieben \(\{1,5\}\) oder mit absolut kleinsten

Resten geschrieben \(\{1,-1\}\).

Comments

ich glaube es herrscht hier eine gewisse Unsicherheit, was der Unterschied zwischen \((\mathbb{Z} /n\mathbb{Z})\) und \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*\) ist (s. Antwort vom Mathecoach).
@ermanus: da ich selber zu diesem Thema nicht wirklich sattelfest bin, solltest Du vielleicht mal ein paar erklärende Worte spendieren - Danke!

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\((Z/nZ)^*\) ist die Einheitengruppe des Ringes \(Z/nZ\).

Diese heißt in der Literatur auch "prime Restklassengruppe mdulo \(n\)":

https://de.wikipedia.org/wiki/Einheitengruppe

Answer 2

Mache eine normale Multiplikationstabelle für die Multiplikation der Zahlen 0 bis 5 mit den Zahlen 0 bis 5. Ersetze dann alle entstehenden Produkte, die größer als 5 sind, durch den Rest, den das entsprechende Produkt bei Teilung durch 6 lässt.

Z.B. ist 2*5=10, aber statt 10 schreibt man eine 4 (denn 10:6= 1 Rest 4).

Zweites Beispiel: 3*4=12, aber statt 12 schreibt man eine 0 (denn 12:6=2 Rest 0).

Answer 3

Ich habe das so gefunden

Z6 ist die Menge der ganzen Zahlen modulo 6 und enthält die Elemente {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
Z6* ist die Menge der invertierbaren Elemente in Z6 und enthält die Elemente {1, 5}.

Mulitplikationstabelle Z6*

*	1	5
1	1	5
5	5	1

oder mit Betragsmäßig kleinsten Resten

*	1	-1
1	1	-1
-1	-1	1

Comments

Das ist nicht die Multiplikationstabelle von \(Z_6^*\), sondern von

\(Z_6\). Die Multiplikationstabelle von \(Z_6^*\) ist mit betragskleinsten

Resten

1	-1
-1	1

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Danke ermanus für die Verbesserung. Ich pflege das oben ein.

Ich denke das ist aber nicht so gemeint. Ich muss da nochmal nachlesen.

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@ermanus

Wäre das jetzt so richtig?

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Ja. Das sieht alles sehr gut aus :-)