Hallo Roland,
Da \(123000789\equiv 2 \mod 7\) und \(123000789\equiv 10 \mod 11\), lässt die Aufgabe sich auch wie folgt formulieren:
gesucht ist eine (oder mehrere) natürliche Zahl(en) \(x \lt 1000\) mit den Eigenschaften$$\begin{aligned} 1000x&\equiv 7-2=5 \mod 7\\1000x&\equiv 11-10=1 \mod 11 \end{aligned}$$Sowie der Eigenschaft, dass ihre Ziffern paarweise verschieden sind und aus der Menge von \(\in \{0,4,5,6\}\) stammen.$$\begin{aligned} 1000x &\equiv 5 \mod 7 \\ 6x &\equiv 5 &&|\,\cdot 6 \\ x &\equiv 2 \\ 1000x &\equiv 1 \mod 11 \\ 10x &\equiv 1 &&|\,\cdot 10 \\ x &\equiv 10\end{aligned}$$Die kleinste Zahl, bei der das zutrifft. ist die \(65\), die bereits der erste Treffer ist. Die vollständige Menge der Möglichkeiten \(x^*\) ergibt sich aus$$x^* = 65 + k \cdot 77 \quad k \in [0 \dots \lfloor1000/77\rfloor]$$das sind nur 13 Zahlen; und davon bleiben als Lösungen$$x_{1,2,3} \in \{65, \,450, \,604\}\\ \implies 123065789,\space 123450789,\space 123604789$$Gruß Werner
