Geben Sie alle Homomorphismen φ : (Z6, +6) → (Z10, +10) an
Da φ(1)∈ℤ10 gibt es ein α∈ℤ10 sodass φ(1)=α.
Also haben folgende Abbildung:
$$\phi : \mathbb{Z}_6 \rightarrow \mathbb{Z}_{10} \\ k\mapsto ka$$
Bleibt also nur noch die Frage wie viele verschiedene a in Frage kommen.
Ich hab da jetzt durch ausrechnen a=5 herausbekommen. Folgt daraus, dass mein φ(1)=5 ist?
Denn 10 ist gar nicht in (ℤ8)
Von 6a ≡ 0 (mod 10) bekommen wir a = 5n, wobei n eine ganze Zahl ist. Also bekommen wir $$\phi (1)=0 \ \text{ oder } \phi (1)=5$$
Ich hab das mal für φ: (ℤ8, +8 )→ (ℤ12, +12) ausprobiert (mit dem Schema da oben). Aber das geht nicht da man uns schon angegeben hat, dass φ(1)=3 ist.
Kannst du mir da irgendwie weiterhelfen bzw. . wo der Fehler ist?
In diesem Fall haben wir folgendes: $$\phi : \mathbb{Z}_8\rightarrow \mathbb{Z}_{12} \\ k\mapsto ka$$ Wir haben dass $$8\equiv 0 \pmod 8 \Rightarrow \phi (8)\equiv \phi (0) \pmod {12}\Rightarrow 8a\equiv 0\pmod {12} \\ \Rightarrow a=3n, n\in \mathbb{Z}$$ Somit bekommen wir $$\phi (1) =0 \ \text{ oder } \phi (1)=3 \ \text{ oder } \ \phi (1)=6 \ \text{ oder } \ \phi (1)=9 $$
Alles klar. Dankeschön :) Jetzt hab ich das verstanden.
ehm... für φ(1) - φ(6) hab ich abwechselnd die Werte 5 und 0 raus. Ist das richtig? Also nur damit ich weiß, dass ich auch richtig gerechnet habe.
Im ersten Fall meinst du? Ja, das stimmt, wir bekommen da: $$\phi (1)=0 \ \text{ oder } \ \phi (1)=5$$
Also für die geraden Zahlen 2, 4, 6 hab ich als Funktionswert 0 und für die geraden Zahlen hab ich 5 raus.
Das verwirrt mich ein wenig.
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