Question

Sei φ : (Z8, +8) → (Z12, +12) ein Homomorphismus mit φ(1) = 3. Berechnen Sie φ(x) für alle x ∈ Z8

Answer 1

φ(1) = 3. Berechnen Sie φ(x) für alle x ∈ Z8

φ(2)=φ(1+₈  1)= φ(1) +₁₂ φ(1) = 3 +₁₂ 3 =  6
φ(3)=φ(2+₈ 1)= φ(2) +₁₂ φ(1) = 6 +₁₂ 3 =  9

φ(4)=φ(3+₈ 1)= φ(3) +₁₂ φ(1) = 9 +₁₂ 3 =  0

φ(5)=φ(4+₈ 1)= φ(4) +₁₂ φ(1) = 0 +₁₂ 3 =  3

etc.

Comments

warum hier φ(2) =6

und φ(3)=9 sind ? können sie bitte näher erklären ?

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na Ja .. jetzt habe ich es verstanden .. :) sie brauchen nicht mir zu erklären

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Zunächst ist 2 = 1 + 1

und das ist auch in Z8 so.

Da es ein Hom. ist, ist  ja immer

φ(a+b) = φ(a)  +    φ(b)

Hier also

φ(1+1 ) = φ(1)  +    φ(1)

und bekannt ist ja φ(1) = 3.

Einsetzen ergibt

φ(1+1 ) = φ(1)  +    φ(1) = 3+3 = 6 .

Problematischer wird es bei

φ(4)=φ(3+8 1)= φ(3) +₁₂ φ(1) = 9 +₁₂ 3

Denn bei der Addition Modulo 12 ist ja

9 + 3 =  0.