Aufgabe zu partiellen Ableitungen f(x,y)= (1-(lny)^2)/(ln2x)

Question

Es soll die Ableitung folgender Funktion bestimmt werden:

 f(x,y)= ( 1 -(lny)^2 ) / (ln2x)

Diese soll im Punkt P1(e/2 , e^3) eine Richtung von P1 nach P2(9e/2 , e^3+3e)haben.

Die partiellen Ableitungen kann ich aufstellen, und diese dann auch entsprechend des Punktes P1 auflösen, aber ich finde leider keine möglichkeit den 2. Punkt P2, und damit die Richtung, in meine Rechnung einzubauen.

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Sehe ich das richtig so:

$$ P_1=\begin{pmatrix} \frac e2\\e^3 \end{pmatrix} $$$$ P_2 =\begin{pmatrix} \frac {9e}2\\e^3+3e \end{pmatrix} $$
P1(e/2 , e3) eine Richtung von P1 nach P2(9e/2 , e3+3e)
$$ \vec R =\vec P_2 -\vec P_1$$

du brauchst dich nicht zu bemühen, die Schreibregeln hier anzuwenden ...

... fast alle Helfer haben Kristallkugeln!

Answer 1

Ich habe es mal mit der Def. versucht. Also ist zu betrachten:

$$  \lim_{h\to\infty} \frac { f(P1+h*   \begin{pmatrix} 4e\\3e \end{pmatrix}  )-f(P1)}{ h }$$
$$ = \lim_{h\to\infty} \frac { f(   \begin{pmatrix} 0,5e+4eh\\e^3+3eh \end{pmatrix}  )+8}{ h }$$

$$ = \lim_{h\to\infty} \frac { f(   \begin{pmatrix} e*(0,5+4h)\\e*(e^2+3h) \end{pmatrix}  )+8}{ h }$$

$$ = \lim_{h\to\infty} \frac { \frac { 1-(ln(e*(e^2+3h)))^2 }{ ln(e*(1+8h)) }+8}{ h }$$

$$ = \lim_{h\to\infty} \frac { \frac { 1-(1+ln(e^2+3h))^2 }{ 1+ln(1+8h) }+8}{ h }$$

$$ = \lim_{h\to\infty} \frac { \frac { 1-(1+2ln(e^2+3h)+(ln(e^2+3h))^2 )}{ 1+ln(1+8h) }+8}{ h }$$

$$ = \lim_{h\to\infty} \frac { \frac {-2ln(e^2+3h)-(ln(e^2+3h))^2 }{ 1+ln(1+8h) }+8}{ h }$$

$$ = \lim_{h\to\infty} \frac { \frac {-2ln(e^2+3h)-(ln(e^2+3h))^2 }{ 1+ln(1+8h) }+\frac {  8+8ln(1+8h)  }{  1+ln(1+8h)  }}{ h }$$

$$ = \lim_{h\to\infty} \frac { -2ln(e^2+3h)-(ln(e^2+3h))^2 + 8+8ln(1+8h) }{ h*(1+ln(1+8h)) }$$
Und das wäre ein Fall für d'Hospital. Da bekomme ich (hoffentlich keine großen Rechenfehler)

$$\frac { \frac { -6 }{ e^2+3h }+\frac { -6*ln(e^2+3h) }{ e^2+3h }+\frac { 64 }{ 1+8h } }{ 1*(1+ln(1+8h))+\frac { 3h }{ e^2+3h } }$$

und das hat für h gegen 0 ja einen Grenzwert.

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Bist Du sicher, dass es keinen umständlicheren Weg gibt?

$$ \frac {\vec R}{\vert \vec R \vert} =\frac 1{\sqrt{(4e)^2+(3e)^2}} \cdot \begin{pmatrix} 4e\\3e \end{pmatrix} $$
Der Einheitsvektor mit der Richtung wäre dann:
$$\frac 1{5} \cdot \begin{pmatrix} 4\\3 \end{pmatrix}     =              \begin{pmatrix} \frac {4}{5}\\\frac {3}{5} \end{pmatrix}$$