Partielle Ableitungen und Gradienten bestimmen f(x,y) = (x^2 - y^2)/(x^2 + y^2)

Question

Folgende Funktion ist gegeben:

$$ f(x,y)=\begin{cases} \frac { { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } \quad für\quad (x,y)\neq (0,0) \\ 0\qquad \quad \quad \quad für\quad (x,y)=(0,0) \end{cases} $$

Zu bestimmen:

1.) partielle Ableitungen von f

2.) grad f(x,y)

3.) grad f(1,1)

Brauche zu 3. Hilfe. Wie mache ich das? Setze ich da einfach x=1, y=1 ein in grad f(x,y)? Oder geht das anders?

Answer 1

Na klar, in der Nähe von (1;1) mach die Einschränkung (x,y) ≠ (0;0) nix aus.

Comments

Ich habe noch eine Frage. Zu 3.) wie geht das mit partiellen Ableitungen und dem Gradienten für den Punkt (x,y)=(0,0) ?

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Das musst du dann nach der Def. der part. Ableitung nachen,

etwa für f_x(0,0) so:   (mit dem Ziel lim für h gegen 0)

f( h,0 ) = h² / h² = 1   also auch lim = 1

und für   f_y(0,0) :

f(0,h) = -h² / h² also lim = -1