Aloha :)
Mit Differential ist im mehrdimensionalen Fall die Jacobi-Matrix \(Df\) gemeint.
$$\vec f(\vec x)\approx\vec f(\vec x_0)+\mathbf Df\cdot\left(\vec x-\vec x_0\right)\quad;\quad Df=\left(\begin{array}{c}\partial_xf_x & \partial_yf_x & \partial_zf_x\\\partial_xf_y & \partial_yf_y & \partial_zf_y\end{array}\right)$$Die Jacobi-Matrix ist hier eine \(2\times3\) Matrix, da die Funktion \(\vec f:\mathbb R^3\to\mathbb R^2\) abbildet. [Vielen Dank an Gast jc2144 für den Hinweis.]
Wegen \(\vec f(x,y,z)=\binom{xz^2}{\cos z+e^y}\) finden wir damit als Differential:
$$Df=\left(\begin{array}{c}z^2 & 0 &2xz\\0 & e^y & -\sin z\end{array}\right)$$Speziell an den Stellen \((1,0,\pi)\) und \((1,2,3\pi)\) lautet es:
$$Df(1,0,\pi)=\left(\begin{array}{c}\pi^2 & 0 &2\pi\\0 & 1 & 0\end{array}\right)\quad;\quad Df(1,2,3\pi)=\left(\begin{array}{c}9\pi^2 & 0 &6\pi\\0 & e^2 & 0\end{array}\right)$$
