Hallo lul,
vielen Dank für Deine Antwort. Ich habe versucht, Deine Hinweise umzusetzen und jetzt sieht es so aus:
a)
\( \vec{x} \) = \( \begin{pmatrix} x1\\x2\\x3 \end{pmatrix} \) und \( \vec{y} \) = \( \begin{pmatrix} y1\\y2\\y3 \end{pmatrix} \)
Wenn \( \vec{y} \) linear abhängig von \( \vec{x} \) ist, muss gelten:
\( \vec{y} \) = \( \begin{pmatrix} λ*x1\\λ*x2\\λ*x3 \end{pmatrix} \)
Nun bilde ich das Kreuzprodukt aus \( \vec{x} \) und \( \vec{y} \):
\( \vec{x} \) x \( \vec{y} \) = \( \begin{pmatrix} x2*λ*x3 - x3*λ*x2\\x3*λ*x1 - x1*λ*x3\\x1*λ*x2 - x2*λ*x1 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \) = \( \vec{0} \)
Somit ist gezeigt, dass das Kreuzprodukt zweier Vektoren bei linearer Abhängigkeit gleich dem Nullvektor ist.
b)
Das Kreuzprodukt der linear unabhängigen Vektoren \( \vec{x} \) und \( \vec{y} \) soll orthogonal zu dem von \( \vec{x} \) und \( \vec{y} \) aufgespannten Vektorraum sein.
Ich bilde ich das Kreuzprodukt aus \( \vec{x} \) und \( \vec{y} \):
\( \vec{x} \) ο \( \vec{y} \): \( \begin{pmatrix} x2*y3-x3*y2\\x3*y1-x1*y3\\x1*y2-x2*y1 \end{pmatrix} \)
Nun bilde ich Skalarprodukt aus dem Kreuzprodukt und \( \vec{x} \) bzw. \( \vec{y} \):
\( \vec{x} \) ο (\( \vec{x} \) x \( \vec{y} \))
= x1*(x2y3-x3y2)+x2(x3y1-x1y3)+x3(x1y1-x2y1)
= x1x2y3-x1x3y2+x2x3y1-x2x1y3+x3x1y2-x3x2y1 (gleichfarbiges hebt sich jeweils auf)
= 0 -> Skalarprodukt = 0 -> Orthogonalität gegeben -> (\( \vec{x} \) x \( \vec{y} \)) ⊥ \( \vec{x} \)
Für \( \vec{y} \) ο (\( \vec{x} \) x \( \vec{y} \)) gehe ich genauso vor und erhalte ebenfalls das Skalarprodukt = 0, hier ist also auch Orthogonalität gegeben. Ich denke, das müsste dann als Beweis ausreichen, oder?
d)
Diesen Beweis bzw. die Herleitung habe ich jetzt auch verstanden und nachgerechnet. In Anbetracht des Aufwands, diese hier einzutippen, lasse ich sie weg.
Bleibt lediglich noch c), dort habe ich Deinen Hinweis leider noch nicht ganz verstanden.
Philippus
