Aloha :)
a) Distributivität:
$$(a\vec x+b\vec y)\times\vec z=\begin{pmatrix}ax_1+by_1\\ax_2+by_2\\ax_3+by_3\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}z_1\\z_2\\z_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}(ax_2+by_2)z_3-(ax_3+by_3)z_2\\(ax_3+by_3)z_1-(ax_1+by_1)z_3\\(ax_1+by_1)z_2-(ax_2+by_2)z_1\end{pmatrix}$$$$\quad=\begin{pmatrix}ax_2z_3+by_2z_3-ax_3z_2-by_3z_2\\ax_3z_1+by_3z_1-ax_1z_3-by_1z_3\\ax_1z_2+by_1z_2-ax_2z_1-by_2z_1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ax_2z_3-ax_3z_2+by_2z_3-by_3z_2\\ax_3z_1-ax_1z_3+by_3z_1-by_1z_3\\ax_1z_2-ax_2z_1+by_1z_2-by_2z_1\end{pmatrix}$$$$\quad=a\begin{pmatrix}x_2z_3-x_3z_2\\x_3z_1-x_1z_3\\x_1z_2-x_2z_1\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}y_2z_3-y_3z_2\\y_3z_1-y_1z_3\\y_1z_2-y_2z_1\end{pmatrix}=a(\vec x\times\vec z)+b(\vec y\times\vec z)$$
b) Anti-Kommutativität:
$$\vec x\times\vec y=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\by_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_2y_3-x_3y_2\\x_3y_1-x_1y_3\\x_1y_2-x_2y_1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y_3x_2-y_2x_3\\y_1x_3-y_3x_1\\y_2x_1-y_1x_2\end{pmatrix}$$$$\phantom{\vec x\times\vec y}=-\begin{pmatrix}y_2x_3-y_3x_2\\y_3x_1-y_1x_3\\y_1x_2-y_2x_1\end{pmatrix}=-\vec y\times\vec x$$
c) Assoziativität:
$$\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\times\left[\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\right]=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$$$$\left[\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\right]\times\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\0\\0\end{pmatrix}$$Offensichtlich ist das Vektorproduktes im Allgemeinen nicht assoziativ.
