Erwartungstreue eines Schätzers zeigen. X1,...Xn unabhängige identisch Poisson-verteilgte Zufallsvariable

Question

Also ich habe hier einen Schätzer für einen Parameter λ, der je nachdem welches x ich einsetze, mir einen reellen Parameter λ gibt.

Nun muss ich bestimmen, ob der Schätzer auch erwartungstreu ist. Das soll wohl dann der Fall sein, wenn der Erwartungswert des Schätzers gleich dem wahren Wert des Parameters ist.

Aber wie soll ich das prüfen, wenn mein Parameter doch von x abhängt und ich somit keinen eindeutigen habe?

Oder soll da am Ende nur der allgemeine Parameter λ rauskommen?

Für einen Ansatz wäre ich sehr dankbar!

Answer 1

Der unbekannte Parameter λ ist fest und hängt nicht von den Realisierungen der Zufallsvariablen ab. Da diese unabhängig identisch Poisson-verteilt sind, gilt:

$$ E(X_1) =\text{...} = E(X_n) = \lambda $$

Und für t folgt:

$$E(t) = E(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n{X_i}) = \frac{1}{n} E( \sum_{i=1}^n{X_i}) = \frac{1}{n} nE(X_1) = \lambda $$

Also ist t erwartungstreu.