P59 partielle Integration, Substitution . Bsp. f(x) = ln(x) / x

Question

Mit denen hab ich leider probleme

Ps: Lu ich hab mein pc leider grad nicht ansonsten hätte ich es abgetippt mit fem handy würde es zu lange dauern. Ansonsten habe ich es im kopf :)

P59 partielle Integration, Substitution . Bsp. f(x) = ln(x) / x

Comments

Ps: Lu ich hab mein pc leider grad nicht ansonsten hätte ich es abgetippt mit fem handy würde es zu lange dauern. Ansonsten habe ich es im kopf :)

Dann kannst du es ja jetzt noch nachholen, so spare ich Zeit, in der ich dir vielleicht einmal eine Frage beantworten kann :) https://www.mathelounge.de/schreibregeln

Answer 1

Hallo immai,

partielle Integration:    ∫ u * v '  =  u * v  -  ∫  u' * v

Der Trick bei beiden Aufgaben ist, dass das linke Ausgangsintegral auf der rechten Seite wieder herauskommt. Man kann Letzteres dann nach links bringen und mit dem Ausgangsintegral zusammenfassen. Dann dividiert man einfach durch den Vorfaktor.

∫  1/x * ln(x)  dx  

u = ln(x)   →   u' = 1/x

v' = 1/x  →  v = ln(x)  

∫  1/x * ln(x)  dx   = ( ln(x) )²  -  ∫  1/x * ln(x)  dx     |  + ∫  

2 * ∫  1/x * ln(x)  dx  =  ln²(x)      | : 2

 ∫  1/x * ln(x)  dx  = 1/2 * ( ln(x) )² + c  = F(x)  

                  ( c∈ℝ  ist eine beliebige Integrationskonstante )

∫ sin(x) * ( cos(x) )³ dx

u =  ( cos(x) )³  →   u' = 3 * ( cos(x) )² * (-sin(x))  =  -3 * sin(x) * cos²(x)  

v' = sin(x)   →  v = - cos(x)  

∫ sin(x) * ( cos(x) )³ dx  =   ( cos(x) )³  * (- cos(x))  -  ∫   -3 * sin(x) * cos²(x) * (-cos(x)) dx

                            =  - ( cos(x) )⁴  -  3 * ∫  sin(x) * cos³(x) dx      | + 3*∫

4 * ∫ sin(x) * ( cos(x) )³ dx   =   - ( cos(x) )⁴      | : 4

 ∫ sin(x) * ( cos(x) )³ dx   =  -1/4 * cos⁴(x)  + c  = G(x)  

                    ( c∈ℝ  ist eine beliebige Integrationskonstante )

-----------

Man substituiert  u = ln(x)   bei f   bzw.  u = cos(x) bei g . In beiden Fällen steht dann (beim 2.Integral nach Vorziehen eines Minuszeichens) unter dem Integral  u' * uⁿ und diese Terme können besonders einfach integriert werden.

   ∫  u' * uⁿ  =  1/(n+1)  uⁿ⁺¹ + c

∫  1/x * ln(x)  dx   =  ∫ [ ln(x) ] ' * [ ln(x) ]¹ =   1/2 * ( ln(x) )² + c 

 ∫ sin(x) * ( cos(x) )³ dx   =  - ∫ [ cos(x) ] ' * [ cos((x) ]³ =   - 1/4 * cos⁴(x)  + c 

  ( beim 2. Integral ist das Minuszeichen von  [ cos(x) ] ' = - sin(x) vor das  ∫  gezogen )        

Gruß Wolfgang