ε-δ Stetigkeit ist eine Eigenschaft, die man einer Funktion an einer einzigen Stelle x1 zuschreiben kann. Das ist für gleichmäßige Stetigkeit nicht der Fall. In den Definitionen siehst du das daran, wo x1 gebunden wird. Bei der ε-δ Stetigkeit ist das bereits in den Voraussetzungen der Fall, bei der gleichmäßigen Stetigkeit erst im Allquantor.
Für Beweise hat das die Konsequenz, dass du bei der ε-δ-Stetigkeit die Stelle x1 heranziehen darfst um ein passendes δ zu finden, während du es bei der gleichmäßigen Stetigkeit nicht darfst.
Zusammengefasst:
ε-δ-Stetigkeit von f:
∀x1: ∀ ε>0: ∃ δ > 0 : ∀x : d(x, x1) < δ ⇒ d(f(x), f(x1)) < ε
gleichmäßige Stetigkeit:
∀ ε>0: ∃ δ > 0 : ∀x1 : ∀x : d(x, x1) < δ ⇒ d(f(x), f(x1)) < ε