Lösen Sie die folgenden Anfangswertprobleme:
z′′′−2z′′−z′+2z=xe−x z'''-2z''-z'+2z= { xe }^{ -x }z′′′−2z′′−z′+2z=xe−x
mit z(0)=2 ; z'(0)=1 ; z''(0)=0
z′′′−2z′′−z′+2z=x⋅e−x→k3−2k2−k+2=0(k+1)(k−2)(k−1)=0k1=−1→z1=c1⋅e−xk2=2→z2=c2e2xk3=1→z3=c3⋅ex→zh=C1⋅e−x+C2e2x+C3ex⇒zp=A⋅e−x+Bxe−x⇒zp′=...zp′′=....zp′′′.... ⇒ Einsetzen in die Aufgabe ⇒ Koeffizientenvergleich ⇒z=zh+zp⇒AWB einsetzen \begin{array}{l}z^{\prime \prime \prime}-2 z^{\prime \prime}-z^{\prime}+2 z=x \cdot e^{-x} \\ \rightarrow k^{3}-2 k^{2}-k+2=0 \\ (k+1)(k-2)(k-1)=0 \\ k_{1}=-1 \quad \rightarrow z_{1}=c_{1} \cdot e^{-x} \\ k_{2}=2 \quad \rightarrow z_{2}=c_{2} e^{2 x} \\ k_{3}=1 \rightarrow z_{3}=c_{3} \cdot e^{x} \\ \rightarrow zh=C_{1} \cdot e^{-x}+C_{2} e^{2 x}+C_{3} e^{x} \\ \Rightarrow z_{p}=A \cdot e^{-x}+B x e^{-x} \\ \Rightarrow z_{p}'= ...z_{p}''=....z_{p}''' ....\ \\ \Rightarrow \text { Einsetzen in die Aufgabe } \\ \Rightarrow \text { Koeffizientenvergleich } \\ \Rightarrow z=z_{h}+z_{p} \\ \Rightarrow A WB \text { einsetzen } \\\end{array} z′′′−2z′′−z′+2z=x⋅e−x→k3−2k2−k+2=0(k+1)(k−2)(k−1)=0k1=−1→z1=c1⋅e−xk2=2→z2=c2e2xk3=1→z3=c3⋅ex→zh=C1⋅e−x+C2e2x+C3ex⇒zp=A⋅e−x+Bxe−x⇒zp′=...zp′′=....zp′′′.... ⇒ Einsetzen in die Aufgabe ⇒ Koeffizientenvergleich ⇒z=zh+zp⇒AWB einsetzen
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