Anfangswertprobleme Differenzialgleichungen. y'' - y' -2y = e^{-πt}

Question

Ich soll folgende Anfangswertprobleme lösen. Wie mache ich das am besten?

(i)

\( y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=\mathrm{e}^{-\pi t} \)

\( y(0)=0, y^{\prime}(0)=1 \)

(ii)

\( y^{\prime \prime}+y=\sin t \)

\( y(0)=1, y^{\prime}(0)=0 \)

Answer 1

(1) Löse zunächst die homogene DGL.

Charakteristische Gleichung

$$0=r^2-r-2=(r+1)(r-2)$$Lösung: \(y=c\cdot e^{-x}+d\cdot e^{2x}\)

(2) Lösung der inhomogenen DGL

Ansatz: \(y=c\cdot e^{-x}+d\cdot e^{2x}+a\cdot e^{-\pi x}\)

Es folgt \(e^{-\pi x}=a(\pi^2+\pi-2)\cdot e^{-\pi x}\) und daraus \(a=\dfrac1{\pi^2+\pi-2}\).

Comments

Super vielen Dank!

Weisst du eventuell welcher Ansatz in der zweiten Aufgabe zum Ziel führen könnte? Habe überhaupt noch nicht den Überblick wann welcher Ansatz zu gebrauchen ist. Ist y=a+b*cos(t)+c*sin(t) ein brauchbarer Ansatz?

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Löse zunächst wieder die homogene DGL. Die charakteristische Gleichung lautet \(r^2+1=0\), d.h.  \(y=c\cdot\sin x+d\cdot\cos x\). Die Störfunktion \(\sin x\) ist Teil der Lösung der homogenen DGL (Resonanz). Der Ansatz zur Lösung der inhomogenen DGL lautet hier: $$y=c\cdot\sin x+d\cdot\cos x+x\cdot(a\cdot\sin x+b\cdot\cos x).$$Tipp: Es existieren Tabellen denen zu entnehmen ist, welche Ansatzfunktion in welchem Fall zu wählen ist.

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Oke, ich habe nun das nachgerechnet und bin bei (i) auf die gleiche Lösung gekommen, habe etwas andere Koeffizienten gewählt und nach der Addition der y_hom und y_part auf folgendes gekommen:

$$ y(t)={ C }_{ 1 }*{ e }^{ 2t }+{ C }_{ 2 }*{ e }^{ -t }+\frac { { e }^{ -\pi t } }{ { \pi  }^{ 2 }+\pi -2 } $$

Jetzt müsste ich ja das Anfangswertproblem benutzen, um auf C1 und C2 zu kommen, wie mache ich das?