Taylor zwei Funktionen jedoch keine Grenzen

Question

Hey:)

Bräuchte eure Hilfe zu der Aufgabe, weil ich komm irgendwie nicht klar. Weil da steht zum beispiel nicht, dass ich das Taylorpolynom 4 entwickeln soll. Und ich weiß auch nicht wie ich die Funktionen anders darstellen soll.

Hoffe ihr könnt mir weiterhelfen:)

Answer 1

(ii)  Lt. geometrischer Reihe gilt für \(-1<x<1\)$$h(x):=\frac1{1-x}=\sum_{k=0}^\infty x^k.$$Ableiten liefert$$h^\prime(x)=\frac1{(1-x)^2}=\sum_{k=1}^\infty k\cdot x^{k-1}.$$Multiplikation mit \(x\) liefert die gesuchte Reihe$$g(x)=x\cdot h^\prime(x)=\frac x{(1-x)^2}=x\cdot\sum_{k=1}^\infty k\cdot x^{k-1}=\sum_{k=0}^\infty k\cdot x^k.$$MfG

Comments

Hast du noch für die f eine Idee?

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Integriere die geometrische Reihe summandenweise:$$\ln(2+x^2)-\ln(2)=\int_0^{x^2}\frac{\mathrm dt}{2+t}=\frac12\int_0^{x^2}\frac{\mathrm dt}{1+\frac t2}=\frac12\int_0^{x^2}\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\left(\frac t2\right)^k.$$

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Woher nimmst du das -ln(2)? :)

Answer 2

$$ \int_0^{x^2} \frac{dt}{t+2} = \ln(t+2) \bigg|_0^{x^2} = \ln(x^2 +2) -\ln(2)  $$

Comments

Wie kommst du drauf, dass die Integrationsgrenzen x^2 und 0 sind?

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Ja weil dann die gesuchte Funktion bis auf eine Konstante heraus kommt.

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Sorry, verstehe warum du diese Integrationsgrenzen genommen hast. Allerdings verstehe ich das Integral 1/2+t nicht. Weil aufgeleitet wäre es ja ln(t+2).

Oder substituierst du t=x^2?

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Ich versteh Dich auch nicht. Du schreibst doch selber, das \( \ln(t+2) \) eine Stammfunktion von \( \frac{1}{t+2} \) ist. Und ein bestimmtes Integral rechnet man aus, indem man die Differenz der Stammfunktion an der oberen und unteren Integrationsgrenze berechnet. Und das steht da.

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Aber es ist eben ln(x^2 +2) und deshalb war meine Grage, ob x^2=t substituiert wurde

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Du musst die Integrationsgrenzen einsetzen, also \( 0 \) und \( x^2 \). Da ist nichts substituiert worden.

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Und wie komms man auf dass (-1)^k und das (t/2)^k?

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Das ist die geometrische Reihe.