Kann Bruchgleichung nicht sinnvoll auflösen

Question

Ich habe versucht die folgende gleichung aufzulösen. Jedoch wenn ich jetzt die Brüche indem das ich die Nenner auflöse vereinfache wird das ganze viel zu ausfürlich. Gibt es auch eine einfachere Wariante?

Comments

Die Lösungen sind bei u = 4/3 und u = 4, unten als rote Punkte eingezeichnet.

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Das haben wir immer auf einen Hauptnenner gebracht, der dann wegfällt. Aber selbst dann gibt das noch eine ganz schön große Rechenorgie! :-(

Answer 1

Den ersten Summanden auf der linken Seite der Gleichung würde ich mit (u+2)/(u+2) multiplizieren, den ersten Summanden auf der rechten Seite mit (6-3u)/(6-3u).

Das gibt (u² + 2u - u² + 19) / (3u + 6) = (18 - 9u + 4u - 7) / (6 - 3u)  

bzw.   (2u + 19) / (3u + 6) = (11 - 5u) / (6 - 3u)  

bzw.   (2u + 19) * (6 - 3u) = (11 - 5u) * (3u + 6)

und ausmultipliziert 12u - 6u² + 114 - 57u = 33u + 66 - 15u² - 30u

bzw. 9u² - 48u + 48 = 0 mit den beiden im Kommentar genannten Lösungen.

Answer 2

Sooo eine Rechenorgie ist das nun auch nicht:

$$ \frac u3-\frac{u^2-19}{3u +6} = 3 + \frac{4u-7}{6-3u }$$
$$ \frac u3-\frac{u^2-19}{3(u +2)} = 3 + \frac{4u-7}{3(2-u) }$$
$$u-\frac{u^2-19}{(2+u)} = 9 + \frac{4u-7}{(2-u) }$$
$$u-9 = \frac{u^2-19}{(2+u)} + \frac{4u-7}{(2-u) }$$
$$u-9 = \frac{(u^2-19)(2-u)}{(2+u)(2-u)} + \frac{(4u-7)(2+u)}{(2+u)(2-u) }$$
$$(u-9)(4-u^2) =(u^2-19)(2-u) + (4u-7)(2+u)$$
$$u(4-u^2) -9(4-u^2)=u^2(2-u)-19(2-u) + 4u(2+u)-7(2+u)$$
$$4u-u^3 -36+9u^2=2u^2-u^3-38+19u + 8u+4u^2-14-7u \quad \vert \quad +u^3$$
$$4u -36+9u^2=2u^2-38+19u + 8u+4u^2-14-7u \quad \vert \quad -6u^2$$
$$4u -36+3u^2=-38+19u + 8u-14-7u \quad \vert \quad -20u$$
$$-16u -36+3u^2=-38 -14 \quad \vert \quad +52$$
$$-16u +16+3u^2=0 \quad \vert \quad $$
$$3u^2-16u +16=0 $$
$$x_1= \frac 43\quad \vert \quad x_2 =4$$

Dabei habe ich das hier auch sehr kleinschrittig vollführt - der Nachvollziehbarkeit wegen.

Eher ein Konzentrationstest oder Training für systematisches Vorgehen.