real-und imaginärteil von z1 = (1-sqrt(3)*i)^{5} und z2 = ((1)/(sqrt(2)) * (1+i))^{20} berechnen

Question

wie berechne ich diese Aufgaben? Die Grundlagen der komplexen Zahlen habe ich (eigentlich) verstanden, kann mir da jemand weiterhelfen?

Answer 1

Es gilt dass $$(x+yi)^2=x^2+2xyi+y^2\cdot i^2=x^2+2xyi-y^2$$

Wir haben folgendes:$$\left(1-\sqrt{3}i\right)^5=\left(1-\sqrt{3}i\right)^4\cdot \left(1-\sqrt{3}i\right) \\ =\left(\left(1-\sqrt{3}i\right)^2\right)^2\cdot \left(1-\sqrt{3}i\right)=\left(1-2\sqrt{3}i-3\right)^2\cdot \left(1-\sqrt{3}i\right) \\ =\left(-2-2\sqrt{3}i\right)^2\cdot \left(1-\sqrt{3}i\right)=\left(4+8\sqrt{3}i-4\cdot 3 \right)\cdot \left(1-\sqrt{3}i\right) \\ =\left(4+8\sqrt{3}i-12\right)\cdot \left(1-\sqrt{3}i\right)=\left(-8+8\sqrt{3}i\right)\cdot \left(1-\sqrt{3}i\right) \\ =-8+8\sqrt{3}i+8\sqrt{3}i-8\cdot 3\cdot i^2=-8+16\sqrt{3}i+24 \\ =16+16\sqrt{3}i$$ 
Beim zweiten Ausdruck benutzen wir folgendes: $$\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \left(1+i\right)\right)^{20}=\left(\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \left(1+i\right)\right)^2\right)^{10}$$

Comments

Vielen Dank, habs verstanden :)

Answer 2

(z₁)²= -2(1+√3i)

(z₁)⁵= 4·(1+√3i)·(1+√3i)·(1-√3i)=4(1+√3i)·4=16+16√3·i.

Answer 3

Aufgabe mit z₁: