Extrema auf einem abgeschlossenen Definitionsbereich ohne Rechnung bestimmen.

Question

angenommen ich habe die Funktion f: [-5,5] -> R, mit f(x)=55x-20x³+x⁵ . 

Wie bestimme ich bzw. entscheide ich ohne Rechnung, ob f ein globales Maximum/Minimum besitzt.

Comments

Die Funktion ist stetig (warum und was heißt das?) und auf einem abgeschlossenen Intervall definiert. Was folgt daraus?

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Die Funktion ist stetig, weil f(x) eine rationale Funktion ist bzw. auf ganz ℝ definiert ist. Im Script steht dazu, wenn f(x) stetig ist und auf ein kompaktes Intervall definiert ist, hat es auf jeden Fall ein globales Minimum und ein globales Maximum.

Jedoch fällt mir das schwer vorzustellen. Warum ist das so bzw. warum gilt dieser Satz?

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Gibt es ein eurem Skript keinen Beweis dazu?

Answer 1

Beweis des Satzes gelingt über den Zwischenwertsatz.

Anschaulich kann man sich stetig ja (für die einfachen Fälle)

so vorstellen:  Der Graph lässt sich ohne den Stift abzusetzen in einer Linie

durchzeichnen. Wenn man das über einem kompakten Intervall

(d.h. Man fängt an einem definierten Punkte an und hört an einem anderen

auf) macht; dann hat man irgendwann den höchsten und irgendwann den

tiefsten Punkt erreicht, ggf. sind das eben Anfangs- und Endpunkt der

Zeichnerei. 

Comments

Achso. D.h. ohne die Kurvendiskussion durchgeführt zu haben wissen wir, dass es ein globales Minimum und ein globales Maximum gibt. Und die beiden Randpunkte 5 und -5 müssen nicht unbedingt globale Minima bzw. Maxima sein, weil die Kurve dazwischen auch höhere Werte bzw. kleinere Werte annehmen kann. Verstehe ich das so richtig?

Und was würde passieren, wenn wir keinen kompakten Intervall haben, d.h.  (-5,5]?

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Wie du es sagst ist es richtig.

Wenn das Intervall nicht kompakt ist wie  (-5,5]

Dann betrachte einfach mal die Funktion mit f(x) = x.


Stetig ist die ja. aber die Bildmenge ist dann ja auch   (-5,5]

und das hat zwar ein Max aber kein Min, denn die -5 ist kein


Funktionswert, und jeder Wert c, der etwas größer als -5 ist, wird

ja durch einen anderen Funktionswert ( z.B.  (c-5)/2  )  unterschritten.