Finden Sie die allgemeine Lösung von y'- y sin x = 2y.

Question

Ich weiß nicht was ich machen soll.

Kann mir jemand einen Ansatz nennen, wie ich da am besten ran gehe.
Danke

Answer 1

Hi,

kannst bspw die Seperation der Variablen nutzen.

y' - y*sin(x) = 2y    |+y*sin(x), dann :y

y'/y = 2+sin(x)      | y' = dy/dx, dann integrieren

ln|y| = 2x - cos(x) + c   |e-Funktion anwenden

y = d*e^2x-cos(x)

Grüße

Comments

 

erstmal danke.Kannst du mir sagen wo das "d" herkommt? und wo das c hin ist ?y = d*e^2x-cos(x)

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Ich denke du kannst das meiner Rechnung gut entnehmen

y = EXP(2·x - COS(x) + C) 

y = EXP(2·x - COS(x)) * EXP(C) 

y = C2 * EXP(2·x - COS(x)) 

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Du hast im Exponenten eigentlich noch ein +c stehen.

Wegen den Potenzgesetzen e^{b+c} = e^{b}*e^c, kannst Du e^c zu einer neuen Variable d deklarieren :).

Answer 2

y' - y·SIN(x) = 2·y

dy/dx - y·SIN(x) = 2·y

dy/dx = 2·y + y·SIN(x)

dy/dx = y·(2 + SIN(x))

1/y dy = (2 + SIN(x)) dx

∫ 1/y dy = ∫ (2 + SIN(x)) dx

LN(y) = 2·x - COS(x) + C

y = EXP(2·x - COS(x) + C)

y = EXP(2·x - COS(x)) * EXP(C)

y = C2 * EXP(2·x - COS(x))

Comments

LN(y) = 2·x - COS(x) + C   

ergibt nur Lösungen mit  positiven Konstanten c₂ = e^c

Genauer sollte es wohl

LN(|y|) = 2·x - COS(x) + C    lauten:

   y = ±  e^{2x -cos(x) + c} 

^{Da man y=0 wegen der Division durch y in der 5. Zeile sowieso gesondert betrachten muss, ergibt sich durch Einsetzen in die DGL auch y=0 als Lösung und damit}

y = C2 * EXP(2·x - COS(x))   mit c₂ ∈ ℝ