Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung y'' + 2y' - 35y = 5e^{-5x}.

Question

Habe gerade ein Youtube Video gesehen, der dass so erklärt hat. Y(x) = Y_a(x) + Y_p(x)

wobei Y_a(x) die allgemeine Lösung ist und die andere die partikuläre Lösung.

Um die allgemeine Lösung zu berechnen muss man: x²+2x-35 = 0 => Nullstellen sind 5 und -7

dann wäre die allgemeine Lösung Y_a(x) = (x-5)*(x+7). Ist das richtig? Oder ist meine Vorgehensweise ganz flasch?

Wie bekommt man nun die partikuläre Lösung raus?

Comments

Es geht erstmal um die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung y''+2y'=35y=0. Das ist dann das y_a (wenn wir bei den Bezeichnungsweisen bleiben wollen). Als Ansatz dazu probiert man y=e^λx. Das solltest Du selber einsetzen.

Answer 1

Hi,

Du hast das "charakteristische Polynom" richtig berechnet, das Ergebnis aber falsch interpretiert.

Mit der Lösung x_(1) = 5 und x_(2) = -7 hast Du:

y_(h) = c_(1)*e^{5x} + c_(2)*e^{-7x}

Schau das nochmals im Skript nach :).

Für den partikulären Teil nimm den "rechte Seite-Ansatz"...ebenfalls im Skript zu finden, wie ich vermuten würde.

Ansatz ist y = a*e^{-5x}. Das zweimal ableiten und einsetzen in die DGL. Dann Koeffizientenvergleich. Ich komme auf a = -1/4.

Insgesamt hast Du also:

y = c_(1)*e^{5x} + c_(2)*e^{-7x} - 1/4*e^{-5x}

Grüße

Comments

Also allgemeine Lösung wäre: c*e^{nx}, wobei n die Nullstelle ist. Und das wird für jede Nullstelle addiert,a slo kommt man auf y_h = c₁*e^n₁x + c₂*e^n₂x+...

Partikulär wäre dann: y= (Koeffizient=a) * e^-5x

je nach ordnung so oft ableiten, einsetzen und dann nach a umstellen

Reicht mir dieses Wissen aus?

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Das ist korrekt. Ist aber leider nicht ganz ausreichend.

Weiterhin wichtig ist die Handhabe von mehrfachen Nullstellen, Resonanzfall und es gibt weitere rechte Seite-Ansätze. Dann aber biste schon relativ gefestigt um diese Art von DGL zu lösen...aber es gibt auch hier noch weitere Lösungsansätze (Trennung der Variablen etc)

Answer 2

Für spätere Fälle:

Lösungsansätze für die wichtigsten Störfunktionen bei linearen DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten findest du hier:

http://www-math.upb.de/~mathkit/Inhalte/DGLen/data/manifest10/Lsg_inhomDGL_2_Ord_konst_Koeff.html

Dort wird auch auf die von Unknown angesprochenen Besonderheiten bzgl. der Mehrfachheiten des charakteristischen Polynoms eingegangen.

Gruß Wolfgang

Answer 3

Wie bekommt man nun die partikuläre Lösung raus?

Ein weiterer Weg wäre der über die Wronski Determinante (zugegeben wird seltener verwendet),

aber der Vollständigkeit halber erwähnt.