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Beweisen Sie, dass n eine Primzahl ist, wenn 2n - 1 eine Primzahl ist. Zeigen Sie hierzu zunächst, dass

2ab - 1 = (2a-1) (2a(b-1)+2a(b-2)+...+2a+1.

Wie berechne ich diese Aufgabe?

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(2a-1) (2a(b-1)+2a(b-2)+...+2a+1)

=2a*(2a(b-1)+2a(b-2)+...+2a+1)   -   (2a(b-1)+2a(b-2)+...+2a+1)

=2a*(2ab-a+2ab-2a+...+2a+1)   -   (2ab-a+2ab-2a...+2a+1)



=2ab+2ab-a+2ab-2a+...+2a   -   (2ab-a+2ab-2a+...+2a+1)

=2ab - 1

Durch die Gleichung

2ab - 1 = (2a-1) (2a(b-1)+2a(b-2)+...+2a+1)    #

wird ja für jede Zahl 2n - 1 , für die


n=a*b ist , eine Zerlegung in zwei Faktoren angegeben.

2n - 1 eine Primzahl ist, ist einer der beiden Faktoren eine 1,

also 2a-1 = 1 , und damit a=1 oder 

2a(b-1)+2a(b-2)+...+2a+1 = 1 also b=1

und damit lässt sich n nur so in zwei Faktoren zerlegen, dass einer

davon eine 1 ist ==>  n ist Primzahl.

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