Sportflugzeug quadratische Funktion / mittlere änderungsrate

Question

wie kann ich Aufgabe 5b und c lösen? Für den Durchschnitt bei b habe ich 200m/Minute. Wie löse ich jedoch den Rest von b und c?

Answer 1

a)

f(0) = 1000 m

f(t) = 40·t^2 - 400·t + 1000 = 40·(t^2 - 10·t + 25) = 40·(t - 5)^2 = 0 --> t = 5 s

b)

m1 = (f(5) - f(0)) / (5 - 0) = (0 - 1000) / (5 - 0) = -200 m/s

m2 = (f(5) - f(4)) / (5 - 4) = (0 - 40) / (5 - 4) = -40 m/s

c)

m3 = (f(4.1) - f(4)) / (4.1 - 4) = (32.4 - 40) / (4.1 - 4) = -76 m/s

m4 = (f(4.01) - f(4)) / (4.01 - 4) = (39.204 - 40) / (4.01 - 4) = -79.6 m/s

Man kann den Wert 4.01 immer weiter der 4 nähern und erhält eine immer bessere Näherung.

Comments

Ich habe eine Frage hierzu. Wenn man das Intervall symmetrisch um 4 herumlegt,  als z.b. 3,5 und 4,5 oder auch 3,8 und 4,2, dann kommt immer die steigung -80 heraus. Kann mir jemand erklären warum das so ist? Müsste sich die steigung nicht dem Wert der ersten Ableitung an der Stelle 4 annähern, wenn ich das Intervall immer enger mache um den Wert 4?

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Ja genau

mh = (f(4 + h) - f(4 - h)) / ((4 + h) - (4 - h)) = -80

Zeichne dir das mal auf

Kannst du jetzt eventuell begründen das es für jede Parabel und jede Stelle gilt?

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f(4+h)-f(4-h)=40(4+h)^2-400(4+h)+1000-[40(4-h)^2-400(4-h)+1000]

                       =40(16+8h+h^2)-1600-400h-[40(16-8h+h^2)-1600+400h]

                      =40*16+320h-400h+40h^2-40*16+320h-40h^2-400h

                       =640h-800h

                       =-160h

Das jetzt geteilt durch 2h ergibt-80. Das leuchtet mir ein. Aber warum ist das für alle parabeln so? Gibt es da einen logischen Grund den ich gerade nicht sehe?

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Leg mal den Scheitel der Parabel in den Ursprung und schneide mit der Geraden mit der Steigung m. Dann erhältst du

ax^2 = mx + d

ax^2 - mx - d = 0

x = m / (2·a) - √(4·a·d + m^2) / (2·a)

Und wie du siehst liegt es daran, das wir ax^2 - mx - d ebenso als eine symmetrische Parabel auffassen können und die Schnittpunkte befinden sich auch hier symmetrisch zu einer Stelle. Das ist die Stelle m / (2·a), die unabhängig von d ist. 

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Danke für die Antwort. Auf Anhieb verstehe ich es noch nicht. Denke ich muss mir das noch ein bisschen durch den Kopf gehen lassen.

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Alle Parabeln haben ja die Nullstellen immer Symmetrisch zum Scheitelpunkt.

D.h. Lösungen quadratischer Gleichungen sind auch immer symmetrisch.

Answer 2

b)

f(4)=40*4^2-400*4+1000=40m

∅m=( f(5) - f(4) ) / (5-4) = (0-40)/(5-4)= -40 m/min