Für f€Abbil(R,R) sei Tf:={x€R|f(x)=0}. Zu einem g € Abbil(R,R) sei Ug={f€ Abbil(R,R)|Tf ∪ Tg=R}. Nun sei g: x -> x(x-1)(x+1)
1) Bestimmen Sie eine Basis von Ug.
2) Zeigen Sie, dass die Abbildung Ψ: Ug->Uf definiert durch Ψ(f):x->xf(x) linear und wohldefiniert. (Hinweis: hierfür ist Ψ(f) € Ug für alle f € Ug zu zeigen)
3) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix von Ψ bzgl. Der in 1) gewählten Basis.
(Mit R als reelle Zahlen)
Ansätze:
bei der 1) weiß ich nicht wirklich weiter, hilft es mir zu wissen, dass die Nullstellen von g gleich 0,1 und -1 sind?
2) linearität: i) f,g€ Ψ , (Ψ(f+g))(x)=x(f+g)(x)=x(f(x)+g(x))=xf(x)+xg(x)= (Ψf)(x)+(Ψg)(x)
ii) c€R (Ψ(cf))(x)= Ψ(cf)(x)=xcf(x)=cxf(x)=c Ψ(f(x))=c(Ψf)(x)
Wohldefiniertheit: für f€Ug gilt Tf ∪ Tg=R -> für Ψ(f)€Ug folt TΨ(f) ∪ Tg=R. Dann ist TΨ(f)={x€R|xf(x)=0} <=> Tf={x€R|f(x)=0}, also ist Ψ(f) € Ug.
bei 3) weiß ich leider nicht weiter weil ich 1) noch nicht gelöst habe..
Ich bin über jede Hilfe dankbar und es wäre toll, wenn jemand über meine Ansätze schauen könnte :)
