Darstellungsmatrix einer R-linearen Abbildung

Question

Die Matrix A=(3 4)

                     (7 9 ) 

Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix der ℝ-linearen Abbildung

f: M_2,2(ℝ) - >M_2,2(ℝ)

mit f(x) = AX für X ∈ M_2,2(ℝ) bezüglich der Basis

E₁ = (1 0   E₂ = ( 0 1         E₃ = (0 0           E₄=( 0 0

        0 0)             0 0)                  1 0)                  0 1)

von M_2,2(ℝ).

Dazu würde ich noch gerne wissen wie man überhaupt zeigen kann das E1 , E2, E3, E3 überhaupt Basen sind. Wie macht man das mit matrizen?

Danke für die hilfe

Answer 1

Dass es eine Basis ist, heisst:
ist Erzeugendensyst. und die sind lin. unabh.
Erz:  Wenn du irgendeine Matrix aus dem Raum hast
a      b
c     d
dann nimmst du a*E1  + b*E2 + c*E3 + d*E4 und dann hast du sie.
und lin unabh:
wenn    a*E1  + b*E2 + c*E3 + d*E4 = 0   (also 2x2 Nullmatrix) ist,
dann gilt
a      b     =       0      0
c     d               0       0 
also alle 0, also lin. unabh.

Die Matrix der Abb. ist eine 4x4 Matrix, bei der in jeder Spalte die
abcd Werte stehen, die man zum Erzeugen des Bildes des entsprechenden
Basisvektors braucht.
also rechnest du für die 1. Spalte z.B. aus
f(E1) =  A*E1 =    3      0
                              7       0
also ist die Matrix
3     ?    ?    ?
0     ?    ?    ?
7    ?    ?    ?
0  ?    ?    ?
und die anderen Spalten entsprechend.