Wie Stetigkeit überprüfen für f(x)= ( (x+2)/(x-2) , x<2 ) ( 2 , x ≥2 )

Question

f(x)= ( (x+2)/(x-2) , x<2 ) ( 2 , x ≥2 )

Man betrachtet eine Funktion als stetig, wenn f(x0) existiert, limf(x) existiert, sowie limf(x)=f(x0) gilt.

Muss ich dann jetzt einfach nur für xo=2 einsetzen: f(2)= 2/0 -> f nicht definiert an der Stelle x0. jedoch unten: f(2)=2 Oder spielt die erste Aussage keine Rolle da es nur für x<2 gilt? Und nun zur Grenzwertbetrachtung: limx<2 -h+4/-h = - unendlich limx>2 2= 2
"2" ungleich "-unendlich" .

Was beweist denn nun die Unstetigkeit von alledem?^^

Answer 1

Die Funktion ist an der Stelle x0 = 2 nicht stetig, weil der beidseitige Grenzwert an dieser Stelle nicht existiert, denn der existiert an einer Stelle x0 nur dann, wenn der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert von f ( x ) an dieser Stelle übereinstimmen.

Das aber ist nicht der Fall: Der linksseitige Grenzwert ist - ∞ , der rechtsseitige Grenzwert hingegen ist 2.