Differenz aus zwei Effekten

Question

Ich bin Controller in einem Versandhandelsunternehmen. In dieser Funktion versuche ich bisher wenig erfolgreich eine Fragestellung zu lösen, zu der mir zumindest kurzfristig auch studierte Mathematikerkollegen nicht behilflich sein konnten.

Daher versuche ich es nun hier:

Aufgabenstellung:

Ich habe jeweils aus Vorjahr und aktuellem Jahr einen Umsatzwert und einen Rabattwert. Die Entwicklung der Rabatte (Akt. Jahr - Vorjahr) möchte ich auf zwei Einflussgrößen differenzieren: die Umsatzveränderung und die Veränderung der Rabattquote.

Beispiel:

Umsatz Akt. Jahr: 100.000€
Rabatt Akt. Jahr:    10.000€ (=> 10%)
Umsatz Vorjahr:     50.000€
Rabatt Vorjahr:         2.500€ (=> 5%)

Rabattentwicklung insgesamt: +7.500€
Rabattentwicklung aus Umsatzveränderung: ?
Rabattentwicklung aus Rabattquotenveränderung: ?

Mein bisheriger Lösungsansatz:

Ich verändere eine der beiden Einflussgrößen und lasse die andere stabil (also auf Vorjahresniveau), um den entspr. Effekt abzubilden.

Für Umsatzeffekt:
"Umsatz Akt. Jahr" * "Rabattquote Vorjahr"
=> 100.000€ * 5% = 5.000€ => Differenz zu Vorjahr = +2.500€
Für Rabattquoteneffekt:
"Umsatz Vorjahr" * "Rabattquote Akt. Jahr"
=> 50.000€ * 10% = 5.000€ => Differenz zu Vorjahr = +2.500€

Aus diesen beiden Teileffekten würde sich in Summe jedoch nur eine Rabattveränderung von +5.000€ erklären, bzw. abbilden lassen, so dass +2.500€ zur Gesamtrabattentwicklung von +7.500€ "fehlen".

Mache ich etwas grundlegend falsch? Ist diese Einflussgrößendifferenzierung in dieser oder ähnlicher Weise überhaupt möglich mit der Voraussetzung, die Gesamtrabattveränderung ohne "Fehlsumme" abbilden zu können?

Comments

Versteh ich das richtig, das Du die Rabattentwicklung ( RabattVorjahr - RabattAktjahr ) ausschließlich durch eine lineare Funktion von (UmsatzVorjahr - UmsatzAktjahr) und (RabattQuoteVorjahr - RabattQuotaAktjahr )  erklären möchtest?

---

Sind die von Dir angegebenen Umsätze brutto oder netto?

Answer 1

Hi,

die Rabatterwartung \( \Delta R = R_a - R_v  \) ist eine nichtlineare Funktion der Umsätze und der Rabattquoten. Es gilt nämlich

$$ \Delta R = U_a \ Q_a - U_v \ Q_v  $$ und diese Gleichung kann nicht in eine Gleichung der Form $$ \Delta R = \alpha \ \Delta U + \beta \ \Delta Q  $$ umgewandelt werden.

\( a \) steht für aktuelles Jahr und \( v \) für Vorjahr

Comments

Hallo ullim,

danke für Deinen Kommentar.

Zwar hätte ich das niemals so prägnant und verformelt ausdrücken können, wie Du es getan hast, aber ich glaube, ich bin in der Zwischenzeit tatsächlich zum gleichen Ergebnis gelangt. In meinen Worten: beide Effekte verstärken sich gegenseitig, weshalb man nicht auf die Gesamtrabattveränderung kommt, wenn man jeweils eine Einflussgröße "ausschaltet".

Bleibt die Frage nach einem adäquaten Lösungsansatz zur Fragestellung: wie verteilt sich die Gesamtrabattänderung differenziert auf die beiden Einflussgrößen? Oder anders formuliert: welche Einflussgrößenveränderung hat welchen Anteil an der Gesamtrabattveränderung?

Zwar habe ich inzwischen eine, bzw. zwei andere Lösungsideen, bin mir allerdings überhaupt nicht sicher, ob diese im Rahmen der Fragestellung sachlich in Ordnung sind und adäquate Ergebnisse liefern.

Und zwar könnte man ja die Veränderung des Gesamtrabattes jeweils über den Anteil der Änderung einer Einflussgröße an der Summe der Änderungen beider Einflussgrößen verteilen. Also z.B. so:

Umsatz Akt. Jahr: 150.000€
Rabatt Akt. Jahr:    15.000€ (=> 10%)
Umsatz Vorjahr:     50.000€
Rabatt Vorjahr:         2.500€ (=> 5%)

Daraus resultiert:

Steigerung Umsatz in %:        +200%
Steigerung Rabattquote in %: +100%

Neue Lösungsidee:

Umsatzeffekt           = ( 200% / (200%+100%) ) * 15.000€ = 10.000€
Rabattquoteneffekt = ( 100% / (200%+100%) ) * 15.000€ =   5.000€

Oder jeweils anhand des Änderungsfaktors:

Umsatzfaktor           = 3
Rabattquotenfaktor  = 2

Umsatzeffekt           = ( 3 / (3+2) ) * 15.000€ = 9.000€
Rabattquoteneffekt = ( 2 / (3+2) ) * 15.000€ = 6.000€

Nur bin ich mir, wie gesagt, überhaupt nicht sicher, ob das ein adäquater Lösungsansatz ist und falls doch: welche Variante ist die bessere/adäquatere, denn sie liefern unterschiedliche Ergebnisse?

---

Der Fehlerteufel hat sich in die Berechnung der neuen Lösungsideen geschlichen, nämlich habe ich 15.000€ als Gesamtrabattveränderung angegeben, die im Rahmen des gegebenen Beispiels jedoch 12.500€ beträgt.

Die Berechnungen/Ergebnisse müssten also so aussehen:

Steigerung Umsatz in %:        +200%
Steigerung Rabattquote in %: +100%

Neue Lösungsidee:

Umsatzeffekt           = ( 200% / (200%+100%) ) * 12.500€ = 8.333€
Rabattquoteneffekt = ( 100% / (200%+100%) ) * 12.500€ = 4.167€

Oder jeweils anhand des Änderungsfaktors:

Umsatzfaktor           = 3
Rabattquotenfaktor  = 2

Umsatzeffekt           = ( 3 / (3+2) ) * 12.500€ = 7.500€
Rabattquoteneffekt = ( 2 / (3+2) ) * 12.500€ = 5.000€

Ändert jedoch nichts am Grundsatz meiner Ausführungen und Fragestellung.

Answer 2

Auf dieselbe Weise, wie man ein währungskursbereinigtes Umsatzwachstum darstellen kann, kann man auch ein rabattbereinigtes Umsatzwachstum zeigen (absolute oder prozentuale Veränderung zu konstanten Kursen/Rabatten, zu tatsächlichen Kursen/Rabatten).

Aber erzähle nicht deinen Mathematikerkollegen, dass das anderswo von Trainees gemacht wird.

Comments

Hallo döschwo,

könntest Du das anhand meines Beispiels bitte verdeutlichen und möglichst eine entspr. Formel angeben?

Umsatz Akt. Jahr: 150.000€
Rabatt Akt. Jahr:    15.000€ (=> 10%)
Umsatz Vorjahr:     50.000€
Rabatt Vorjahr:         2.500€ (=> 5%)

Rabattentwicklung aus Umsatzanstieg:           ? € 
Rabattentwicklung aus Rabattquotenanstieg:  ? €

---

Das kann ich gerne tun, müsste aber die oben gestellte Frage nach brutto oder netto beantwortet haben.

---

	2016	2015
Umsatz brutto	150 000	50 000
Rabatt	-15 000	-2500
Umsatz netto	135 000	47 500
Rabatt % Ist	15%	5%
Rabatt % konstant	5%
Umsatz netto zu konst. Rabatt	142 500	47 500
Rabatterhöhung	-7500
Umsatz netto zu Ist-Rabatt	135 000	47 500

---

Oh die hatte ich übersehen, sorry. Es handelt sich um nettoumsätze.

Inwiefern is das interessant? Die angegebenen umsätze sind jedenfalls die basis zur ermittlung des rabatts/der rabattquote. Andere einflussgrössen als die angegebenen gibt es zur ermttlung des rabatts/der rabattquote auf dieser betrachtungsebene nicht.

---

Also wenn 15000 Rabatt 10 % von 150 Tsd. sind, dann meine ich 150 sei brutto, nicht netto. So habe ich jedenfalls die Tabelle aufgebaut, in der du die beiden Effekte siehst (mit Tippfehler wie ich gerade sehe, anstatt 15 % müsste 10 % stehen).

---

Achso, ja die angegebenen umsätze sind brutto, also vor rabatt. Nur so ergeben sich auch die angegebenen rabattquoten. Ich hatte die brutto/netto-frage falsch verstanden.

Zu deiner tabelle/berechnung:

Wo ist zu erkennen, wieviel rabattanstieg aus umsatzveränderung und wieviel aus rabattquotenveränderung resultieren? Ich möchte ja den gesamtanstieg von 12.500€ restlos erklären, differenziert nach umsatz-, bzw. Rabattquoteneinfluss.

Umsatz Akt. Jahr: 150.000€ 
Rabatt Akt. Jahr:    15.000€ (=> 10%) 
Umsatz Vorjahr:     50.000€ 
Rabatt Vorjahr:         2.500€ (=> 5%)

Rabattentwicklung gesamt: +12.500€

Rabattentwicklung aus Umsatzanstieg:           ? €  
Rabattentwicklung aus Rabattquotenanstieg:  ? €

---

In meiner Tabelle siehst du die beiden Effekte auf den Nettoumsatz bzw. dessen Veränderung. Wenn du die Effekte auf den Rabattbetrag haben willst, lautet in diesem Beispiel die Antwort:

- Rabattentwicklung aus Umsatzanstieg: 5% (konstante Rabattrate) vom Mehrumsatz = 5000

- Rabattentwicklung aus Rabattratenanstieg: 5% (die Differenz zu 10%) vom Umsatz = 7500

---

Die beiden Effekte (1) und (2) kann man auch grafisch zeigen, in Form einer sich vergrößernden Fläche (entspricht Rabattbetrag)::

---

Das war auch mein allererster Lösungsansatz. Allerdings darf die rabattveränderung aus rabattratenanstieg mMn nicht auf basis des aktuellen umsatzes von 150.000 bezogen werden, sondern auf den Vorjahresumsatz, denn sonst hat man eben keinen reinen Rabattrateneffekt, sondern auch einen Umsatzeffekt enthalten.

Das wird für diese berechnungsweise anhand des eingangsbeispiels deutlich:

Umsatz Akt. Jahr: 100.000€ 
Rabatt Akt. Jahr:    10.000€ (=> 10%) 
Umsatz Vorjahr:     50.000€ 
Rabatt Vorjahr:         2.500€ (=> 5%) 

Rabattentwicklung insgesamt: +7.500€ 
Rabattentwicklung aus Umsatzveränderung: +2.500€
Rabattentwicklung aus Rabattquotenveränderung: +5.000€

Man sieht, dass die rabattrate viel stärkeren einfluss als die umsatzveränderung zugewiesen bekommt, obwohl sich beide gleichmässig verändert haben: beide verdoppeln sich jeweils und wirken sich isoliert gesehen linear auf den rabatt aus, also eigentlich ebenfalls verdoppelnd. 

Daher bin ich auf die verteilung über veränderngsraten/-faktoren umgeschwenkt, wie in der kommentierung an ullim beschrieben. Allerdings ergibt sich da auch nicht DIE eine eindeutige lösung.

---

Die "Rabattveränderung aus Rabattratenanstieg" bzw. der "Rabattratenanstieg" bezieht sich ja auf den angestiegenen Rabatt im laufenden Jahr, nicht im Vorjahr. Es wäre semantisch nicht nachvollziehbar, den Rabatt von diesem Jahr auf den Umsatz vom Vorjahr zu beziehen. Darum wird das in Theorie und Praxis so gemacht wie von mir skizziert.

---

Hi,

ich hatte ja geschrieben das die Rabatterwartung sich so berechnet $$ \Delta R = U_a \ Q_a - U_v \ Q_v $$
Setzt man jetzt noch \( U_a = U_v + \Delta U \) und \( R_a = R_v + \Delta R \) wobei \( \Delta U \) und \( \Delta R \) die Umsatz- bzw. Rabattveränderungen zwischen aktuellem und Vorjahr sind, dann folgt
$$  \Delta R = U_v \cdot \Delta R + R_v \cdot \Delta U + \Delta U \cdot \Delta R  $$
D.h. es gibt eine Rabattentwicklung die sich aus der Rabattveränderung ergibt (1. Summand), eine Rabattentwicklung die sich aus der Unsatzveränderung ergibt (2. Summand) und eine Rabattentwicklung die sich aus den beiden Veränderungen (Umsatz und Rabatt) ergibt (3. Summand).
In Deinem letzten Beispiel sieht das so aus:

Rabattentwicklung aus Rabattveränderung \( 50.000 \ € \cdot 5 \% = 2.500 \ € \)
Rabattentwicklung aus Umsatzveränderung \( 5 \% \cdot 50.000 \ €  = 2.500 \ € \)
Rabattentwicklung aus Umsatz- und Rabattveränderung \( 50.000 \ € \cdot 5 \% = 2.500 \ € \)
Das ist auch aus dem Bild von döschwo zu erkennen. Der letzte Term ist das Rechteck oben rechts.

Man sieht auch das man die Rabattveränderung nicht nur aus Umsatz- und Rabattveränderung erklären kann, sondern das es auch gekoppelte Terme gibt. Der letzte Term ist nur vernachlässigbar, wenn die Veränderungen im Umsatz und Rabatt klein sind. In Deinem Beispiel ist das aber ncht so.

So kannst Du auch die Rabattentwicklung aus Deinem zweiten Beispiel bestimmen und es kommen in der Tat die 12.500 € heraus.

---

Herjesses, tönt das abstrakt :) Die Betriebswirtschafter machen das so, wie oben in meiner Antwort "In meiner Tabelle siehst du die beiden Effekte..." beschrieben.

---

Und wo kann ich in Deiner Tabelle ablesen, wie die Rabattentwicklung sich zusammensetzt?

---

Siehe oben die Antwort mit dem Text "Wenn du die Effekte auf den Rabattbetrag haben willst, lautet in diesem Beispiel"... In der Tabelle ist der Effekt auf den Nettoumsatz dargestellt.