Seien (an) und (bn) zwei reelle Zahlenfolgen. Konvergenz ihrer Differenz bzw. Quotienten?

Question

Es seien \( \left(a_{n}\right) \) und \( \left(b_{n}\right) \) Zahlenfolgen und \( b_{n} \neq^{\prime} 0 \) für alle \( n \in \mathbb{N} \).

Gegeben seien die folgenden Aussagen:

(a) \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(a_{n}-b_{n}\right)=0 \Rightarrow \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=1 \)

(b) \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=1 \Rightarrow \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(a_{n}-b_{n}\right)=0 \)

Zeigen Sie durch Gegenbeispiele, dass diese Aussagen falsch sind. Unter welchen Zusatzvoraussetzungen sind \( (a) \) bzw. (b) richtig?

Answer 1

Vorschlag für Gegenbeispiel bei (a)

an: = 1/n → 0

bn : = 1/n^2 → 0

an - bn → 0-0 = 0

an/bn = n^2 / n = n → nicht 1

und bei (b)

an : = n^2 + 5
bn : = n^2 - 7

(an - bn)  → (5-(-7)) = 12

an/bn  → 1

Comments

Hi Lu 
die ZusatzVoraussetzung ist dass a_{n =} b_n  oder ?

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Hi Lu 
die ZusatzVoraussetzung ist dass a_{n = }b_{n  }oder ?

Mit der Zusatzvoraussetzung "allle Folgenglieder stimmen überein) stimmt a). Vielleicht findest du aber noch eine bessere Voraussetzung (?) Vielleicht genügt bei a) Gleicher (endlicher) Grenzwert und Grenzwert nicht 0?

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lim b_n  existiert  und bei a :  ≠ 0   und bei b :  ≠ ∞

Answer 2

Für die a habe ich die Idee:

lim_n→∞ (n-n) = 0 ⇒ lim_n→∞ (n/n) ≠ n.

Kann das jemand bestätigen?

Und wie sieht es mit der b aus?

Comments

Wahrscheinlich ist es falsch, weil es direkt zu sehen ist... Wäre a) falsch?.. Dann wäre b) richtig. Oder können ggf beide richtig bzw. Falsch sein? Noch eine Frage^^: was gilt denn bei a) als Voraussetzung? Bereits das, was du geschrieben hast?

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lim_n→∞ (n-n) = 0 ⇒ lim_n→∞ (n/n) =1.

wäre eine Bestätigung für (a)