Beweis: Funktion es gibt ein x0 mit Supremum

Question

Hallo Ich weiß nicht wie man diese Aufgabe lösen kann...

Meiner Meinung nach kann man bestimmt den Satz von Bolzano Weierstraß benutzen oder auch so etwas wie das sandwichlemma?

Dann sowas wie nach Def. von Sup gilt d_k<=a_k<=c_k gilt: lim d_k= lim a_n = lim c_k.

Wie führe ich das aber aus?

Vielen lieben Dank im voraus:)

Answer 1

Seien z < 0 und Z > 0, so dass f(x) < f(0)/2 für alle x < z und für alle x > Z ist. Solche z und Z existieren wegen lim _x→±∞ f(x) ≤ 0 <  f(0).

f ist auf der kompakten Menge [z, Z] stetig.

Bilder von kompakten Mengen unter stetigen Abbildungen sind kompakt.

Kompakte Teilmengen von ℝ sind abgeschlossen und beschränkt.

Beschränkte Teilmengen von ℝ haben ein Supremum.

Das Supremum einer abgeschlossen Teilmenge von ℝ ist Maximum.