Gibt es eine partiell-geordnete Menge die eine Obere-Schranke jedoch kein Supremum besitzt?

Question

Hi gibt es eine partiell-geordnete Menge die eine Obere-Schranke jedoch kein Supremum besitzt?

Die gleiche Frage stellt sich mir für eine Untere-Schranke und das Infimum.

Sobald ich die Menge der Oberen-Schranken definiere, kann ich doch direkt das kleinste Element angeben oder?

 

Dazu stellt sich mir die Frage, ob die Schranken, Supremum, Infimum sowie Max & Min, IMMER ∈ Obermenge sein müssen?

Also für (N0, ≤) 

ist US = {x€ℤ: x≤0} oder nur {x€N: x=0}?

Answer 1

Das Supremum ist nach Definition die kleinste obere Schranke, falls es eine obere Schranke gibt, muss es folglich auch ein Supremum geben. Gleiches gilt für die untere Schranke und das Infimum.

Maximum und Minimum sind immer ein Element aus der Menge, wohingegen Supremum und Infimum nicht Element aus der Menge sein müssen (z.B. die Menge x>0 mit x€IR, da kannst du kein Minimum wählen, da die Werte immer näher an 1 gehen, aber das Infimum ist 0. Es existiert hier also ein Infimum, aber kein Minimum). Obere Schranken bzw. untere Schranken müssen erst recht nicht Teil der Menge sein, da +∞ immer obere Schranke ist und -∞ immer untere Schranke, egal von welcher Menge.

Comments

OK eventuell verstehe ich was nicht richtig...
Ich habe eine Obermenge und eine Teilmenge, die durch eine Eigenschaft entsteht:

UM := {x∈N₀:x < 5}

Obermenge  => N₀

Darf ich die Menge der OS und US nun auch aus einer anderen Menge als N₀ wählen also 

UntereSchranken {u∈ℤ: u≤0} oder nicht?

Damit wäre

Inf := max {UntereSchranken} und Min := UntereSchranken∩UM bzw: Wenn Inf∈UM => Min(UM)=Inf.

 

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Obere Schranke bedeutet ja nur, dass alle Elemente in der Menge kleiner als diese obere Schranke sind, wenn du z.B. die Menge {0, 1, 2, 3, 4} hast, dann ist 4 die kleinste obere Schranke (Supremum), 5 eine obere Schranke, 100000000 aber genau so eine obere Schranke.

Inf := max {UntereSchranken} und Min := UntereSchranken∩UM bzw: Wenn Inf∈UM => Min(UM)=Inf.

Das scheint richtig zu sein, wobei dir immer klar sein sollte, dass es NICHT immer ein Max/Min gibt (siehe bereits mein Beispiel oben). Bei UM wäre das Minimum 0, da dieses Element noch in der Menge liegt.