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Infimum und Supremum von \(A\)
Die betrachtete Menge ist \(A:=\left\{\frac{(-1)^{n+1}}{n+2}+3 \mid n \in \mathbb{N}\right\}\). Für ungerade \(n\), d.h., \(n = 1, 3, 5, \ldots\), ist der Term \(\frac{(-1)^{n+1}}{n+2}\) positiv und strebt gegen 0 für \(n \to \infty\). Für gerade \(n\), d.h., \(n = 2, 4, 6, \ldots\), ist der Term \(\frac{(-1)^{n+1}}{n+2}\) negativ und strebt ebenfalls gegen 0 für \(n \to \infty\).
Da für ungerade \(n\) der Wert von \(A\) etwas über 3 liegt und mit wachsendem \(n\) gegen 3 strebt, erreichen wir das Supremum für \(n = 1\) mit \(\frac{(-1)^{2}}{3}+3 = \frac{1}{3}+3 = \frac{10}{3}\).
Für gerade \(n\), d.h. beim kleinsten Wert für \(n=2\), ist der Wert von \(A\) etwas weniger als 3, und dieser Wert wird mit wachsendem \(n\) gegen 3 streben. Also lautet das Infimum für \(n=2\) mit \(\frac{(-1)^{3}}{4}+3 = 3 - \frac{1}{4} = \frac{11}{4}\).
Somit ist das Supremum von \(A\) \(\frac{10}{3}\) und das Infimum ist \(\frac{11}{4}\).
Zur Menge \(B\) und \(C\)
Die Menge \(B\) wird definiert als die Menge aller rationalen Zahlen \(x\), für die \(105 \leq x^2 < 196\) gilt. Das bedeutet, dass \(x\) im Intervall \([-14, -\sqrt{105}]\) union \([\sqrt{105}, 14)\) liegt. Da \(105\) keine perfekte Quadratzahl ist, gibt es keine rationalen Zahlen, die genau \(\sqrt{105}\) sind. Das bedeutet, dass wir uns nur auf rationale Zahlen beschränken, die kleiner als \(\sqrt{105}\) aber größer als \(-\sqrt{105}\) sind. Das bedeutet, dass das Supremum von \(B\) \(\sqrt{105}\) (aber nicht in \(B\) enthalten) und das Infimum \(-\sqrt{105}\) (auch nicht in \(B\) enthalten) ist. Minimum und Maximum existieren in diesem Fall nicht, da \(\sqrt{105}\) und \(-\sqrt{105}\) irrationale Zahlen sind.
Die Menge \(C\) schränkt \(B\) auf nichtnegative Werte ein, also \(C := B \cap [0, \infty)\). Hier liegt \(x\) im Intervall \([\sqrt{105}, 14)\), was bedeutet, dass das Supremum von \(C\) 14 ist und das Infimum von \(C\) \(\sqrt{105}\) ist. Da \(C\) innerhalb der rationalen Zahlen definiert ist und \(\sqrt{105}\) keine rationale Zahl ist, existiert in \(C\) kein Minimum, aber das Maximum von \(C\) existiert und ist kleiner als 14, aber als rationale Zahl so nah wie möglich an 14.
Zur Menge \(A+B\)
Seien \(A\) und \(B\) zwei nicht leere Mengen. Das Infimum der Menge \(A+B\) ist definiert als die größte untere Schranke. Um das Infimum von \(A+B\) zu finden, nehmen wir an, dass jedes Element in \(A+B\) geformt ist als \(x_1 + x_2\), wobei \(x_1 \in A\) und \(x_2 \in B\). Wir wissen, dass \(inf(A+B) \geq inf(A) + inf(B)\), weil für jedes \(x_1 \geq inf(A)\) und jedes \(x_2 \geq inf(B)\), deren Summe immer größer oder gleich \(inf(A) + inf(B)\) sein wird.
Um zu beweisen, dass \(inf(A+B) = inf(A) + inf(B)\), nehmen wir an, es gäbe eine größere untere Schranke \(l\), so dass \(l > inf(A) + inf(B)\). Das würde bedeuten, dass für mindestens ein \(x_1 \in A\) und ein \(x_2 \in B\) die Summe \(x_1 + x_2 < l\), was aber \(l\) nicht als untere Schranke qualifiziert. Daher kann es keine größere untere Schranke als \(inf(A) + inf(B)\) geben, womit gezeigt ist, dass \(inf(A+B) = inf(A) + inf(B)\).
