Sei v, w der Vektor der entsteht, wenn man v konjugiert. Zeige: <v,w>=0

Question

Hallo.

Ich hänge gerade mitten in einem Matheproblem. Folgendes habe ich gezeigt: Die Norm von ||v|| = 1 und die Norm von ||w||=1. Also <v,v> = <w,w> = 1.

Kann man damit zeigen, dass <v,w>=0 oder muss etwas zusätzliches gegeben sein, damit ich das zeigen kann?

Comments

Sind das reelle oder komplexe Vektoren?

Answer 1

Rechne einfach nach: mit der Sesquilinearität

<a+bi , a-bi >

=<a,a-bi> + <bi , a-bi >

= <a,a> - < a,bi > + <bi , a-bi >

= <a,a> - i< a,b> + <bi , a> - <bi, bi >

= <a,a> - i< a,b> -i <b , a>  + i <b, bi >

= <a,a> - i< a,b> -i <b , a>   +i² <b, b >

=<a,a> - i< a,b> -i <b , a>   - <b, b >

es ist <a,b> = <b,a> da beide komponenten reell sind

=<a,a>    - <b, b >

= 1 - 1 = 0

Comments

Du schreibst es gilt \( <a,b> = <b,a> \) müsste dann nicht folgen

$$ <a,a> - i <a,b> -i <b,a> -<b,b> =  -2i<a,b> $$

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Ach ja, da war wohl eher der Wunsch der Vater des Gedankens.

Möglicherweise braucht man in der Tat so einen Zusatz wie:

wenn man v in der Form a+bi mit reellen Vektoren a und b zerlegt,

muss <a,b> = 0 gelten. Allerdings macht mich jetzt auch noch eine Vorgabe

des Fragestellers stutzig : ||v||=1 heißt doch wohl  < v, v_quer > = 1 oder???