Orthonormalbasis von Ker(f)? ƒ:ℝ^3 → ℝ sei definiert durch ƒ(v) = < v , (2,1,1)^T>.

Question

Die lineare Abbildung ƒ:ℝ^3 → ℝ sei definiert durch ƒ(v) = < v , (2,1,1)^T>.

(1) Finden Sie eine Orthonormalbasis von Ker(f) bezüglich des kanonischen Skalarprodukts.

(2) Erweitern Sie diese Orthonormalbasis von Ker(f) zu einer Orthonormalbasis vom ℝ^3.

Habe einige Beispiele aus der Vorlesung bzgl. der Orthonormalbasis durchgerechnet (hatten in den Beispielen Matrizen). Mir ist das Prinzip etwas klarer geworden, aber jetzt kommt wieder etwas mit Kern und das wirft mich wieder komplett raus. 

Wie muss ich hier vorgehen ?!

Answer 1

der Kern von f ist die Menge aller Vektoren, die auf 0 abgebildet werden,
für die also das Skalarprodukt   < v , (2,1,1)^T> = 0   ist, also alle, die auf
(2,1,1)^T   senkrecht stehen.

Basis dafür bilden etwa ( 0,1,-1)^T und ( 1,-2,0)^T 
diese Basis musst du orthonormalisieren und dann zu einer
Basis von IR^3 durch  (2,1,1)^T ergänzen und dann wieder
orthonormalisieren.

Comments

Aber wie komme ich an (0,1,-1)^T und (1, -1, 0)^T ?

Etwa mit dem Gram-Schmidt-Verfahren ?

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 (0,1,-1)^T und (1, -2, 0)^T

sind 2 beliebige (lin unabh.) Vektoren, deren Skalarprodukt mit (2,1,1)^T

null ist und die deswegen im Kern von f liegen. Die kannst du einfach erraten. 

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(1, -2, 0)^T - stimmt, habe mich vertippt.

Naja..dann kann ich ja auch einfach den Nullvektor nehmen und dann einen von den zwei Vektoren ?

Brauche ich dann nicht eine Begründung, woher ich die Vektoren habe (Nullvektor ausgenommen)?

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Ich würde sagen "diese Vektoren sieht man". 

Der Nullvektor ist nicht lin. unabh. vom andern Vektor. Du musst aber 2 lin. unabh. Vektoren haben, damit der 2-dim. Kern aufgespannt ist. 

Nun diese beiden noch orthonormalisieren, d.h. weiter gemäss mathefs Anweisung. 

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Aber wie komme ich an (0,1,-1)^T und (1, -2, 0)^T ?

Das sind einfach zwei aus der Lösungsmenge. Auf diese

kannst du das Gram-Schmidt anwenden und hast dann zwei

orthonormale. Alternativ kannst du auch gleich zwei aus

der Lösungsmenge raten, die orthogonal zueinander sind.

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Habe jetzt etwas nachgelesen und habe das gefunden, was mich anfangs etwas verwirrt hat:

"Algorithmus des Orthonormalisierungsverfahrens" und "Algorithmus des Orthogonalisierungsverfahrens"

Mit den Vektoren (0,1,-1)^T und (1,-2,0)^T muss ich jetzt das Orthonormalisierungsverfahren anwenden, da beide ja schon orthogonal sind. Oder?

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Habe für Aufgabenteil (1): {(1/√2) * (0,1,-1)^T , (1/√3) (1,-1,-1)^T } als Orthonormalbasis von Ker(f)

und für Aufgabenteil (2): {(1/√2) * (0,1,-1)^T , (1/√3) (1,-1,-1)^T , (1/2) (2,1,1)^T} als Orthonormalbasis vom ℝ^3