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Seien k : [0,1]×[0,1]Rk:[0,1]\times [0,1]\to \mathbb R eine stetige Funktion und K : C([0,1])C([0,1])K: C([0,1])\to C([0,1]) definiert durch

(Kf)(x)=01k(x,y)f(y)dy .(Kf)(x)=\int_0^1k(x,y)f(y)dy\ .

Sei B1={fC([0,1]) : f1}B_1=\{f\in C([0,1]): \|f\|_{\infty}\leq 1\}

Anhand vom Satz von Arzela-Ascoli,, schließen Sie daraus, dass K ein kompakter Operator auf dem Banach Raum C([0,1])C([0,1]) (Stetige Funktionen auf [0,1]) ist.


Frage: Dafür muss ich folgendes zeigen oder?

- K(C[0,1]) muss beschränkt sein

- K(C[0,1]) muss gleichgradig stetig auf [0,1] sein


Beweis:

Sei fC[0,1] f \in C[0,1] beliebig aber fest

(Kf)(x)=01k(x,y)f(y)dy01k(x,y)f(y)dysupx,y[0,1]k(x,y)01f(y)dy (Kf)(x)= ||\int_0^1k(x,y)f(y)dy|| \leq \int_0^1||k(x,y)|| ||f(y)|| dy \leq sup_{x,y\in [0,1]} |k(x,y)| \int_0^1 ||f(y)|| dy

f ist eine stetige Funktion auf einem Kompakten Intervall ([0,1]) nimmt also ein Maximum an, damit könnte ich den Ausdruck nochmal abschätzen. Dann würde ich aber eine Konstante in Abhängigkeit von f kriegen, ich brauche aber eine unabhängige Konstante von f um die Beschränktheit zu zeigen oder?

Wie ich das mit dem gleichgradig Stetig zeige, weiß nicht.


MfG

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