Seien k : [0,1]×[0,1]→R eine stetige Funktion und K : C([0,1])→C([0,1]) definiert durch
(Kf)(x)=∫01k(x,y)f(y)dy .
Sei B1={f∈C([0,1]) : ∥f∥∞≤1}
Anhand vom Satz von Arzela-Ascoli,, schließen Sie daraus, dass K ein kompakter Operator auf dem Banach Raum C([0,1]) (Stetige Funktionen auf [0,1]) ist.
Frage: Dafür muss ich folgendes zeigen oder?
- K(C[0,1]) muss beschränkt sein
- K(C[0,1]) muss gleichgradig stetig auf [0,1] sein
Beweis:
Sei f∈C[0,1] beliebig aber fest
(Kf)(x)=∣∣∫01k(x,y)f(y)dy∣∣≤∫01∣∣k(x,y)∣∣∣∣f(y)∣∣dy≤supx,y∈[0,1]∣k(x,y)∣∫01∣∣f(y)∣∣dy
f ist eine stetige Funktion auf einem Kompakten Intervall ([0,1]) nimmt also ein Maximum an, damit könnte ich den Ausdruck nochmal abschätzen. Dann würde ich aber eine Konstante in Abhängigkeit von f kriegen, ich brauche aber eine unabhängige Konstante von f um die Beschränktheit zu zeigen oder?
Wie ich das mit dem gleichgradig Stetig zeige, weiß nicht.
MfG