Seien $$k:[0,1]\times [0,1]\to \mathbb R$$ eine stetige Funktion und $$K: C([0,1])\to C([0,1])$$ definiert durch
$$(Kf)(x)=\int_0^1k(x,y)f(y)dy\ .$$
Sei $$B_1=\{f\in C([0,1]): \|f\|_{\infty}\leq 1\}$$
Anhand vom Satz von Arzela-Ascoli,, schließen Sie daraus, dass K ein kompakter Operator auf dem Banach Raum $$C([0,1])$$ (Stetige Funktionen auf [0,1]) ist.
Frage: Dafür muss ich folgendes zeigen oder?
- K(C[0,1]) muss beschränkt sein
- K(C[0,1]) muss gleichgradig stetig auf [0,1] sein
Beweis:
Sei $$ f \in C[0,1]$$ beliebig aber fest
$$ (Kf)(x)= ||\int_0^1k(x,y)f(y)dy|| \leq \int_0^1||k(x,y)|| ||f(y)|| dy \leq sup_{x,y\in [0,1]} |k(x,y)| \int_0^1 ||f(y)|| dy $$
f ist eine stetige Funktion auf einem Kompakten Intervall ([0,1]) nimmt also ein Maximum an, damit könnte ich den Ausdruck nochmal abschätzen. Dann würde ich aber eine Konstante in Abhängigkeit von f kriegen, ich brauche aber eine unabhängige Konstante von f um die Beschränktheit zu zeigen oder?
Wie ich das mit dem gleichgradig Stetig zeige, weiß nicht.
MfG
