Funktion mit Einschränkungen von f auf A und B stetig. Ist f stetig?

Question

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Hausaufgabe H.10.3
Es seien \( A, B \subset \mathbb{R} \) mit \( A \cup B=\mathbb{R} \) und \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) eine Funktion, deren Einschränkungen \( \left.f\right|_{A} \) und \( \left.f\right|_{B} \) stetig sind. Beweise oder widerlege, dass dann \( f \) stetig sein muss.

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass ich ein Gegenbeispiel zeigen muss aber leider fällt mir nichts ein.

Mein bisheriger Ansatz lautet so: man könnte für A die Menge aller positiven reellen Zahlen (inkl. 0) betrachten und für B die Menge aller negativen reellen Zahlen. Aber leider komme ich nicht weiter. Ich weiß nicht mal ob meinen Ansatz Sinn macht

Answer 1

Dein Ansatz klingt gut.

\(A = [0,\infty), B=(-\infty,0)\).

Jetzt setzt du \(f(x) = 0\) für \(x \in A\) und \(f(x) = 1\) für \(x \in B\).

Damit ist \(\left.f\right|_A\) stetig auf \(A\) und \(\left.f\right|_B\) stetig auf \(B\) aber f ist nicht stetig auf \(\mathbb R\), da \(f\) an der Stelle x=0 springt.