Funktion mit Einschränkungen von f auf A und B stetig. Ist f stetig?

Question

Text erkannt:

Hausaufgabe H.10.3
Es seien $A, B \subset \mathbb{R}$ mit $A \cup B=\mathbb{R}$ und $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ eine Funktion, deren Einschränkungen $\left.f\right|_{A}$ und $\left.f\right|_{B}$ stetig sind. Beweise oder widerlege, dass dann $f$ stetig sein muss.

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass ich ein Gegenbeispiel zeigen muss aber leider fällt mir nichts ein.

Mein bisheriger Ansatz lautet so: man könnte für A die Menge aller positiven reellen Zahlen (inkl. 0) betrachten und für B die Menge aller negativen reellen Zahlen. Aber leider komme ich nicht weiter. Ich weiß nicht mal ob meinen Ansatz Sinn macht

Answer 1

Dein Ansatz klingt gut.

$A = [0,\infty), B=(-\infty,0)$.

Jetzt setzt du $f(x) = 0$ für $x \in A$ und $f(x) = 1$ für $x \in B$.

Damit ist $\left.f\right|_A$ stetig auf $A$ und $\left.f\right|_B$ stetig auf $B$ aber f ist nicht stetig auf $\mathbb R$, da $f$ an der Stelle x=0 springt.