Ich würde sagen, die Aussage ist falsch. Gegenbeispiel: \[f : \mathbb{R}\to\mathbb{R},~ x\mapsto 1\]
Die Funktion \(f\) ist offensichtlich stückweise stetig (sie ist sogar stetig) und beschränkt. Aber \(f\) ist beispielsweise auf dem Intervall \(\left[0, \infty\right[\) nicht integrierbar, denn es ist \[\int_{\left[0, \infty\right[}f(x)\,\text{d}x = \int_{\left[0, \infty\right[}1\,\text{d}x = \infty\text{.}\]
