Finde eine Matrix Q∈O(3), so dass Q^{-1}AQ Diagonalgestalt hat

Question

ich versuche mich gerade an dieser Aufgabe und komme nicht weiter.

Ich wollte zuerst Eingenwerte berechnen aber ich habe nur einen Eigenwert 5/8 bekommen.

Wäre für jede Hilfe sehr dankbar.

Answer 1

Ich wollte zuerst Eigenwerte berechnen aber ich habe nur einen Eigenwert 5/8 bekommen.

Ich bekomme det ( A - x*E) = - (x-1)(x² -x+1)

also genau ein Eigenwert λ=1  mit Eigenvektoren  v = t*( √3 ;3; 0 ) .

Answer 2

Wenn Du wie folgt vorgehst

https://martin-thoma.com/berechnung-der-euklidischen-normalform/

findest Du folgende Transformationsmatrix

$$ Q = \begin{pmatrix}  -\sqrt{3} & 0 & \frac{ \sqrt{ 3 } }{ 3 } \\ 1 & 0 & 1 \\  0 & 1 & 0 \end{pmatrix} $$

Und $$  Q^{-1} A Q = \begin{pmatrix}  \frac{1}{2} & \frac{ \sqrt{3} } { 2 } & 0 \\ -\frac{ \sqrt{3} } { 2 } & \frac{1}{2} & 0 \\  0 & 0 & 1 \end{pmatrix}  $$