Beschränkheit einer Folge mit Summenzeichen formal beweisen

Question

Hallo :)
ich möchte gerne für

die Beschränkheit zeigen. Das n geht gegen unendlich.

Ich weis, dass wenn ich einfach "Stumpf" die ersten Werte für n einsetze, ich sehe, dass es scheinbar auf einen Wert beschränkt ist. Also einen Grenzwert besitzt.
Aber wie kann ich das den formal richtig beweisen? Ich mein wenn ich den Grenzwert habe, dann ist das ja auch beschränkt.
Ich weiß die schreibweise nicht genau. Mein Ansatz war bislang so:

                                         
                                          
Aber 1 kann ja nicht der Grenzwert sein, weil man ja schon sieht, dass es mehr als 1 sein muss. Vermutlich 2.

Comments

Hallo :-)

"Aber wie kann ich das den formal richtig beweisen?"

Mit dem Integralkriterium.  https://de.wikipedia.org/wiki/Integralkriterium

Wenn das Integral ^∞∫₁ 1 / √x^3 dx existiert, dann konvergiert die Reihe ∞∑_k=1 1 / √k^3

d.h. die Folge der Partialsummen ist beschränkt.

Answer 1

Das ist die Riemansche Zetafunktion und das Ergebnis ist \( \zeta \left( \frac{3}{2} \right) \)

Mit dem Link von gorga kann man den Wert auch abschätzen und bekommt \( \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{k^3}} \le 3 \)