Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: Wenn f: [a, b] → ℝ stetig ist, und F'(x) = f(x) für alle x ∈ [a, b] ist, dann ist
∫a..b f(x) dx = F(b) - F(a).
Dein Versuch, ∫-1..1 4/x2 dx mit diesem Hauptsatz zu berechnen, scheitert daran, dass f: x ↦ 4/x2 nicht [-1, 1] → ℝ sein kann, allenfalls [-1, 1]\{0} → ℝ. Das vertößt aber gegen die Voraussetzungen des Hauptsatzes.
Man könnte das reparieren indem man f: [-1, 1] → ℝ definiert als x ↦ 4/x2 für x ≠ 0 und x↦0 für x = 0. Dann passt schon mal der Definitionsbereich. Aber die Funktion ist dann nicht stetig und du darfst den Hauptsatz ebenfalls nicht anwenden.