Integral von f(x) = 4/x^2 dx. mit x:1…4 und x:-1…1. Welches ist nicht definiert?

Question

4

1      4/x^2 dx

und 

1

-1      4/x^2 dx 

4/x^2 -> -(4/x). Laut Lösungen sollte das zweite nicht definiert sein. -4-4=-8. In den Lösungen steht aber "1-1 4/x^2 ist nicht definiert, weil 4/x^2 für 0 nicht definiert ist (Polstelle).

Answer 1

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: Wenn f: [a, b] → ℝ stetig ist, und F'(x) = f(x) für alle x ∈ [a, b] ist, dann ist

        ∫_a..b f(x) dx = F(b) - F(a).

Dein Versuch, ∫_-1..1 4/x² dx mit diesem Hauptsatz zu berechnen, scheitert daran, dass f: x ↦ 4/x² nicht [-1, 1] → ℝ sein kann, allenfalls [-1, 1]\{0} → ℝ. Das vertößt aber gegen die Voraussetzungen des Hauptsatzes.

Man könnte das reparieren indem man f: [-1, 1] → ℝ definiert als x ↦ 4/x² für x ≠ 0 und x↦0 für x = 0. Dann passt schon mal der Definitionsbereich. Aber die Funktion ist dann nicht stetig und du darfst den Hauptsatz ebenfalls nicht anwenden.

Comments

Danke für die Antwort, Oswald. Hab's nun verstanden.

Answer 2

Am besten siehst du das Problem bei b) in einem Plot (wenn du dir f(x) = 4/x^2 nicht vorstellen kannst).

~plot~ 4/x^2;x=0;x=-1;x=1 ~plot~ 

Aus Symmetriegründen, müsstest du das Integral z.B. bei der Postelle x=0 aufteilen können. 

Wenn beide Teile eine endliche Fläche haben, kann man auch die Summe der beiden Flächenstücke als gesuchte Fläche definieren. Sonst nicht.